在职研究生数值分析复习资料及答案.docx
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在职研究生数值分析复习资料及答案
在职研究生数值分析复习资料
考试时间:
120分钟
、单项选择题(每小题4分,共20分)
1.用3.1415作为n的近似值时具有(B)位有效数字。
(A)3(B)4(C)5
2.下列条件中,不是分段线性插值函数
(A)P(x)在各节点处可导
(C)P(x)在各子区间上是线性函数
6
(D)P(x)必须满足的条件为(A)。
(B)P(x)在[a,b]上连续
(D)P(Xk)=yk,(k=0,1,…,n)
f[X-!
X2,Xn]f[X0,X1,Xn1]
3.n阶差商递推定义为:
f[x°X1,Xn]-----
XnX-
差商表如下:
序号
Xi
f(Xi)
一阶差商
二阶差商
三阶差商
0
1
0
1
3
2
1
2
4
15
13
4
3
7
12
—1
—7/2
—5/4
那么差商f[1,3,4:
=(A)
A.(15—0)/(4—1)=5
B.(13—1)/(4—
3)=12
C.4
D.—5/4
24和xln(4x)/ln2的形式,对
两者相应迭代公式求所给方程在
(A)前者收敛,后者发散
(B)前者发散,后者收敛
(C)
5.区间[a,b]上的三次样条插值函数是
两者均收敛发散(D)两者均发散
(A)。
A.
3次的多项式
在[a,b:
上2阶可导,节点的函数值已知,子区间上为
B.在区间[a,b:
上连续的函数
C.在区间[a,b:
上每点可微的函数
D.在每个子区间上可微的多项式
二、填空题(每空2分,共20分)
1.当x=1,-1,2时,对应的函数值分别为f(-1)=0,f(0)=2,f(4)=10,则f(x)的拉格朗日插值多项式是
F2(x)—X22(题目有问题,或许应该是:
x=-1,0,4时…)
5555
2.求解非线性方程xeX10的牛顿迭代公式是
XkXk
-,(k0,1,2...)
Xk1
3.对任意初始向量X(0)和常数项N,有迭代公式x(k1)序列X(k)Mx(k)N产生的向量
收敛的充分必要条件是limX(k)X*。
k
3
2
2
4.设A
X
2
1
3,
IIAIIx=
5,
IIAII仁
5
IX
3
5.已知a=3.201,b=0.57是经过四舍五入后得到的近似值,则ab有2—位
有效数字,a+b有1位有效数字。
6.
若f(x)=x7-x3+1,贝Uf[20,2II,22,23,24,25,26,27]=1。
三、利用100,121,144的平方根,试用二次拉格朗日插值多项式求.115的近
似值。
要求保留4位有效数字,并写出其拉格朗日插值多项式
四、已知:
已知有数据表如下,用n=8的复合梯形公式
h[f(a)2f(xQf(b)]),计算积分
2k1
X
0
0.125
0.25
0.375
0.5
0.625
0.75
0.875
1
xe
1
1.133148
1.284025
1.454991
1.648721
1.868246
2.117000
2.398875
2.718282
(Rn(f)
bah2f"(),
12
(a,b))
II35
a21为1
五、已知方程组2a2X22
12ax31
(1)写出解此方程组的雅可比法迭代公式
(2)证明当a4时,雅可比迭代法收敛
⑶取a5,X(0)(总却,求出X"
六、用改进的欧拉公式求解以下初值问题(取步长为0.1,只要求给出x=0.1
至0.5处的y值,保留小数点后四位)
2x
(0X1)
7
y'y
y
y(0)1
七.用列主元高斯消元法解线性方程组。
(计算时小数点后保留5位)
XX2
1
X3
4
!
5x14X2
3X3
12
2x!
x2x3
11
八、用高斯赛德尔方法求下列方程组的解,计算结果保留4位小数
10x12x2x33
2x110x2x315
人2x25x310
十、设有线性方程组Axb,其中A31015,b
51530
(1)求ALU分解;
(2)求方程组的解(3)判断矩阵A的正定性
I八一、用牛顿迭代法求方程xex0的根。
(迭代三步即可)
十二、已知单调连续函数y=f(x)的如下数据,若用插值法计算,x约为多少时
f(x)=0.5,要求计算结果保留小数点后
4位。
Xi
-10
23
f(Xi)
-4-1
03
参考答案
二、解利用抛物插值,这里
y2=12,
xO=1OO,yO=1O,x1=121,y仁11,x2=144,
令x=115代入抛物插值多项式求得.115近似值为10.7228
四、解
解
(1)
对i
1,2,3,
从第i个方程解出
(m1)
%
1-(1
2x2m)
(m)
X3)
(m1)
X2
a
丄(2
2XT
2x3m)),m0,1,
X3m°
a
丄(1
X1m)
2x2m))
a
人,得雅可比法迭代公式
为:
(2)当a4时,A
(3)取a5,X(O)
为严格对角占优矩阵,所以雅可比迭代法收敛。
111
(
1O'5‘1O
由迭代公式计算得
25,
x3
10
旦
X()
13
25,
x3
250
813)t
250
25
六、解改进的欧拉公式为
yn1ynhf(Xn,yn)
yn1yn畀区,*)八皿1)]
Xn
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
yn
1.0959
1.1841
1.2662
1.3434
1.4164
1.4860
1.5525
1.6153
1.6782
1.7321
七、解
(1,5,2)最大元5在第二行,交换第一与第二行
5x14X23X312
NX2X34
2x1X2X311
L2i=1/5=0.2」3i=2/5=0.4方程化为:
5x14x23x312
0.2x20.4x31.6
2.6X20.2x315.8
(-022.6)最大元在第三行,交换第二与第三行:
5x14x23x312
0.2x20.4X31.6
L32=-0.2/2.6=-0.076923,方程化为:
5x14x23x312
2.6X20.2x3
15.
0.38462X3
0.38466
回代得:
X13.00005
X25.99999
X31.00010
八?
解答:
xk1
1
—(32xk
102
xk)
k1
X2
—(152xk
10\
1k、
x3)
k1
x
3
〔(10xk1
51
2xk1)
k1
x1
0.30.2x:
0.1x:
)
xk1
2
1.50.2xk1
1
0.1xk)
k1
x
20.2xk1
1
0.4xk1)
/2
3
取x0=(0,0,0)
x1=(0.3,1.56,2.684)
x2=(0.8804,1.9445,2.9539)
x3=(0.9843,1.9923,2.9938)
x4=(0.9978,1.9989,2.9991)
x5=(0.9997,1.9999,2.9999)x6=(1.0000,2.0000,3.0000)
simpson公式计算由公式得
x7=(1.0000,2.0000,3.0000)
九、根据给定数据点的个数应该用复化
2h
47
6
R(f0)
0f(x)dxh3(f(0)4(?
5)心5))2f
(1)f
(2))
h丄
2
bah;
2880
20M
Mjh12h
28801440
1
3
5
2
1
3
5
2
十、因为[A,b]
3
10
15
8
3l
1
0
2
5
15
30
5
5
0l
5
5
十二、
1(0.5)=2.91667
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