全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案.docx
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全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案
2017全国研究生入学考试考研数学三解析
本试卷满分150,考试时间180分钟
一、选择题:
1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答.题.纸.指定位置上.
x
=⎪
⎧1-cos,
(1)若函数f(x)
x>0,
在x=0,处连续,则()
⎨ax
⎩⎪b,
1
x≤0,
1
(A)ab=(B)ab=-
2
(C)ab=0
【答案】(A)
【解析】由f(x)在x=0连续可得limf(x)=
x→0
2
(D)ab=2
f(0)
1
lim1-cos
1x
x=lim2=
1,f(0)=b⇒ab=
x→0ax
x→0ax2a2
(2)二元函数z=xy(3-x-y)的极值点是()
(A)(0,0)(B)(0,3)(C)(3,0)(D)(1,1)
【答案】
【解析】zx'=y(3-x-y)-xy=y(3-2x-y)
z'y=x(3-x-y)-xy=x(3-x-2y)
zx''x=-2y,zx''y=3-2x-2y,z'y'y=-2x
⎧zx'=0
验证可得(A)、(B)、(C)、(D)四个选项均满足⎨z'=0
⎩y
其中(D)选项对应
A=zx''x(1,1)=-2,B=zx''y(1,1)=-1,C=z'y'y(1,1)=-2
满足AC-B2=3>0,所以该点为极值点.。
(3)设函数f(x)可导,且f(x)f'(x)>0,则()
(A)f
(1)>f(-1)
(B)f
(1) (C)f (1)> f(-1) (D)f (1)< f(-1) 【答案】(C) 【解析】令F(x)=f2(x),则有F'(x)=2f(x)f'(x),故F(x)单调递增,则F (1)=F(-1),即 [f (1)]2>[f(-1)]2,即 f (1)> f(-1),故选C。 ∞⎡1⎛1⎫⎤ (4)设级数∑⎢sinn-klnç1-n⎪⎥收敛,则k=() n=2⎣⎝⎭⎦ (A)1(B)2(C)-1 【答案】(C) (D) -2 1111111k1 【解析】由sin -kln(1-)=-+o()+k++o() 1 nnn6n3n3n2n2n2 =(1+k)1+ n k 2n2 -16n3 +o(n2), ∞11 nn 又∑[sin-kln(1-)]收敛,故有k+1=0,即k=-1,故选C。 n=2 (5)设α是n维单位列向量,E为n阶单位矩阵,则 (A)E-ααT不可逆(B)E+ααT不可逆 (C)E+2ααT不可逆(D)E-2ααT不可逆 【解析】选项A: 由(E-ααT)α=α-α=0可知,(E-ααT)X=0有非零解,故E-ααT =0, 即E-ααT不可逆。 选项B: 由r(ααT)=1知,ααT的特征值为0,0,0,1, (n-1)个 故E+ααT的特征值为1,1,1,2,因此E+ααT (n-1)个 =2≠0,可逆。 选项C: 同理可得E+2ααT的特 征值为1,1,1,3,故 (n-1)个 E+2ααT 3=0≠,可逆。 选项D: 同理可得E-2ααT的特征值为1,1,1,-1, (n-1)个 故E-2ααT=-1≠0,可逆。 ⎡200⎤ ⎡210⎤ ⎡100⎤ (6)设矩阵A=⎢021⎥,B=⎢020⎥,C=⎢020⎥,则 ⎢⎥ ⎢⎣001⎥⎦ ⎢⎥ ⎢⎣001⎥⎦ ⎢⎥ ⎢⎣002⎥⎦ (A)A与C相似,B与C相似(B)A与C相似,B与C不相似 (C)A与C不相似,B与C相似(D)A与C不相似,B与C不相似 【答案】(B) 【解析】由(λE-A)=0 可知A的特征值为2,2,1。 ⎛1 ç0 ç ç0 ⎝ 0 2 0 0 0⎫ 3-r(2E - A)=1。 ∴A可相似对角化,且A⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎭ 由λE-B=0可知B的特征值为2,2,1。 3-r(2E -B)= 2。 ∴B不可相似对角化,显然C可相似对角化, C ∴A。 且B不相似于C。 (7)设A,B,C为三个随机事件,且A与C相互独立,B与C相互独立,则A⋃B与C相互独立 的充要条件是 (A)A与B相互独立(B)A与B互不相容 (C)AB与C相互独立(D)AB与C互不相容 【答案】(C) 【解析】由A⋃B与C,独立得 P((A+B)C)=P(A+B)P(C) P(AC+BC)=(P(A)+P(B)-P(AB))P(C) P(AC)+P(BC)-P(ABC)=(P(A)+P(B)-P(AB))P(C) 又由A与C,B与C独立得P(ABC)=P(A)P(B)P(C)。 由此验证(A)(B)(C)(D)四项, 又(C)选项可得P(ABC)=P(A)P(B)P(C)。 (8)设X1,X2Xn 不正确的是 (n≥2)为来自总体N(μ,1)的简单随机样本,记X=1n ∑ ni=1 Xi,则下列结论中 n (A)∑(Xi i=1 -μ)2服从χ2分布(B)2(X - X)2服从χ2分布 1 n n (C)∑(Xi i=1 -X)2服从χ2分布(D)n(X-μ)2服从χ2分布 【答案】(B) 【解析】(A)Xi-μ n N(0,1)故∑(Xi i=1 -μ)2 χ2(n); (B) N(0,2)⇒Xn-X1N(0,1) 2 Xn-X1 χ2 (1) ⎛x-x⎫2 (x-x)2 ⇒çn1⎪ 2 ⎝⎭ 即n1 2 χ2 (1)。 1 nn 22222 (C)由S =∑(Xi-X),(n-1)S n-1 i=1 =∑(Xi-X) i=1 χ(n-1)。 (D)(X-μ) N⎛0,1⎫,则 n(X-μ) N(0,1),所以n(X-μ)2 χ2 (1)。 çn⎪ ⎝⎭ 二、填空题: 9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答.题.纸.指定位置上. π (9)⎰-π 【答案】 (sin3x+ π3 。 2 π2-x2)dx=。 π 【解析】由对称区间上积分的性质可知, π2-x2 π 3 ⎰-π(sinx+ )dx=⎰-π 3 π2-x2 π dx=。 2 (10)差分方程yt+1 - 2yt =2t的通解为y=。 t 【答案】yt =C2t+1t⋅2t,C∈R。 2 【解析】由yt+1 - 2yt =2t可得齐次特征方程为r-2=0,得r=2,故其齐次方程的通解为 y=C⋅2t,设y*=at2t,代入得a=1,故通解为y=C2t+1t⋅2t,C∈R。 2t2 (11)设生产某产品的平均成本C(Q)=1+e-Q,其中Q为产量,则边际成本为。 【答案】C'(Q)=1+e-Q(1-Q)。 【解析】C(Q)=1+e-Q得C(Q)=Q(1+e-Q), Q 则边际成本为: C'(Q)=1+e-Q(1-Q)。 (12)设函数f(x,y)具有一阶连续偏导数,且df(x,y)=yeydx+x(1+y)eydy,f(0,0)=0,则 , f(x,y)=。 【答案】xyey。 【解析】由题可知, f'=yey, f'=x(1+y)ey f(x,y)=yeydx=xyey+c(y) ⎰ , x y f'=xey+xyey+c'(y)=xey+xyey y,即 。 ⎛101⎫ c'()y0=,即 c(y)=c, f(0,0)=0,故 c=0,即 fx(y, eyx)=y (13)设矩阵A=ç112⎪,α,α α为线性无关的3维列向量组,则向量组Aα,Aα Aα的 秩为。 【答案】2 【解析】 ç⎪ ⎝⎭ ç011⎪ 123 123 由于α1,α α2 线性无关,可知矩阵 (α1,α2,α3) 可逆,故 r(Aα1,Aα2,Aα3)=r(A(α1,α2,α3))=r(A),不难计算的r(A)=2,故r(Aα1,Aα2,Aα3)=2。 (14)设随机变量X的概率分布为P{x=-2}=1,P{x=1}=a,P{x=3}=b,若EX=0,则 2 DX=。 9 【答案】 2 【解析】 由分布律的归一性可知1+a+b=1,又由于EX=0,可知-2⨯1+1+a+3b=0,解得 22 a=1,b=1,从而EX2=(-2)2+1+12⨯1+32⨯1=9,DX=EX2-(EX)2=9。 4424422 三、解答题: 15—23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. x 0 x3 (15)(本题满分10分)求lim⎰ x→0+ x-tetdt 。 x 【解析】先对变上限积分⎰0 x-tetdt作变量代换u=x-t,得 x ⎰ ⎰ x-tetdt=0 0x uex-u(-du)=exx ⎰ 0 ue-udu x 则由洛必达法则可知: 原式=lim exx ⎰ 0 ue-udu+ x→0+3x 2 xe-x x =2lim⎰0 ue-udu2 + 3x→0+3 xe-x 22 =lim 3x→0+- xe-x+ + 2x 1e-x3 =2lim xe-x+2 3x→0+-xe-x+1e-x3 2 2 3 ⎰⎰(1+x+y) y3 (16)(本题满分10分)计算积分24 D 为边界的无界区域。 【解析】 dxdy,其中D是第一象限中以曲线y=与x轴 x 积分区域如图所示,选用直接坐标计算该积分,先对y积分,后对x积分得 +∞ 原式=⎰0 dx⎰0 xy3dy y=x (1+x2+y4)2 1+∞x = dy4 4⎰0 =-1 dx⎰0 +∞ (1+x2+y4)2 1|xdx 4⎰0 (1+x2+y4)20 = - 1+∞1 ( 1)dx 4⎰0 1+x2 1+2x2 =1(arctanx-1arctan2x)|+∞ 420 1 2 =π(1-)8 (17) n (本题满分10分)求lim∑kln(1+k)。 2 n→∞k=1nn 【解析】由定积分的定义式可知 原式= lim1∑nkln⎛1+k⎫= xln(1+x)dx ,再由分部积分法可知: 1 n→∞nnç n⎪⎰0 k=1⎝⎭ 1112 x2-1 11x2-1 ⎰0xln(1+x)dx=2⎰0ln(1+x)d(x -1)= 2ln(1+x)|0-⎰0 dln(1+x) 2 =-11(x-1)dx=-1(x-1)2|1=1 2⎰0 404 1 (18)(本题满分10分)已知方程 ln(1+x) - 1=k在区间(0,1)内有实根,试确定常数k的取值范围。 x 【解析】 11 令f(x)=-, ln(1+x)x f'(x)=-1 ⋅1+1 ln2(1+x)1+xx2 =(1+x)ln2(1+x)-x2 x2(1+x)ln2(1+x) 令g(x)=(1+x)ln2(1+x)-x2,可得 g'(x)=ln2(1+x)+2ln(1+x)-2x g''(x)=2ln(1+x)-x<0,x∈(0,1) 1+x 故g'(x)在[0,1]上单调递减,从而x∈(0,1)时g'(x) 故g(x)在[0,1]上单调递减,从而x∈(0,1)时g(x) 因此有 f'(x )<,可知 f(x) 在(0,1]上单调递减,从而 f (1)= 1-1, ln2 ⎛11⎫111 lim x→0+ f(x)=limç- x→0+⎝ln(1+x) ⎪=,则要使得f(x)=k在(0,1)内有实根,必有 x 2 ⎭ 1 -1 ln22 (19)(本题满分10分)设a0=1,a1=0,an+1=n+1(nan+an-1)(n=1,2,),S(x)为幂级数 ∑ax的和函数, ∞ n n n=0 (I)证明幂级数∑ax的收敛半径不小于1; ∞ n n n=0 (II)证明(1-x)S'(x)-xS(x)=0(x∈(-1,1)),并求S(x)的表达式。 【解析】(I)由a =1(na+a)a n+1 n+1 nn-1 ,两边同时减去n可知 a-a= -1(a-a) 进而有 a-a=-1⋅ n+1nn+1 n+1n =(-1)n(n+1)! -1 n(an-1-an-2)= n+1 nn-1 (a1-a0)= (-1)n(n+1)! 从而有an=an-1+ (-1)n-1 n! -n-2 = (1) an-2+(n-1)! + (-1)n-1= nk-1 =∑(-1) k=1 k! n! 11 则limna≤limn1+++ ≤limnn=1,故收敛半径R≥1; n→∞nn→∞2! n! n→∞ (II)由逐项求导定理可知S'(x)=∑nax ∞ n-1 n ∞∞∞ n=1 故(1-x)S'(x)=(1-x)∑naxn-1=∑naxn-1-∑naxn nnn n=1 n=1 n=1 ∞∞∞ =∑(n+1)a+xn-∑naxn=∑[(n+1)a+ - na ]xn+ax n=0 n1 n=1 nn1n1 n=1 xS(x)=∑ax=ax∑- ∞∞ n+1n nn1 n=0n=1 ∞ 则(1-x)S'(x)-xS(x)=∑[(n+1)a - na-a ]xn+ax n=1 n+1 nn-11 由a= 1(na+a) (n+1)a - na-a =0, n+1 n+1 nn-1可知 n+1 nn-1 又由于a1=0,故(1-x)S'(x)-xS(x)=0 解此微分方程可得S(x)= ce-x 1-x e-x 又由于S(0)=a0=1,可知c=1,从而S(x)=1-x。 (20)(本题满分10分)设三阶矩阵A=(α1,α2,α3)有3个不同的特征值,且α3=α1+2α2, (I)证明r(A)=2; (II)若β=α1+α2+α3,求方程组Ax=β的通解。 【解析】(I)由α3=α1+2α2可知α1,α2,α3线性相关,从而r(A)≤2,可知0为A的一个特征值,设A的另外两个特征值为λ1,λ2,由于A有三个互不相同特征值,可知A可以相似对角化,从而A ⎛λ1 相似于对角矩阵Λ=çλ ⎫ ⎪,由于λ,λ≠0,可知r(Λ)=2,从而r(A)=r(Λ)=2。 ç2⎪12 ç0⎪ ⎝⎭ (II)先求Ax=0的通解: 由于r(A)=2,可知Ax=0的基础解系中仅含有一个向量,从而Ax=0 的任何一个非零解均为Ax=0的基础解系。 由于α =α+2α ⎛1⎫ ,可知Aç2⎪=α +2α-α =0, ⎛1⎫ 312 ⎛1⎫ ç⎪123 -1 ç⎪ ⎝⎭ 因此ç2⎪即为Ax=0的基础解系,Ax=0的通解为kç2⎪,k∈R。 再求Ax=β的特解: 显然 ç⎪ç⎪ -1 -1 ç⎪ç⎪ ⎝⎭⎝⎭ ⎛1⎫ ⎛1⎫ ⎛1⎫⎛1⎫ Aç1⎪=β,因此ç1⎪即为Ax=β的特解,综上所述,Ax=β的通解为kç2⎪+ç1⎪,k∈R ç⎪ç⎪ 1 1 ç⎪ç⎪ ⎝⎭⎝⎭ ç⎪ç⎪ -11 ç⎪ç⎪ ⎝⎭⎝⎭ (21)(本题满分10分)设二次型f(x,x,x)=2x2-x2+ax2+2xx-8xx+2xx在正交变换 123123121323 1122 x=Qy下标准形为λy2+λy2,求a的值及一个正交矩阵Q。 ⎛21-4⎫ 【解析】二次型的矩阵为A=ç1-11⎪,由于二次型在正交变换下的标准形为λy2+λy2, ç⎪1122 ç-41a⎪ ⎝⎭ 可知0为A的一个特征值,从而A=-3a+6=0,可得a=2。 要计算正交矩阵Q,先求A的特 λ-2-14 征值,则由λE-A=-1 4 λ+1 -1 -1 λ-2 =λ(λ-6)(λ+3)=0,得A的特征值为0,6,-3。 先求0的特征向量: Ax=0的基础解系为α ⎛1⎫ =ç2⎪,单位化得β= ⎛1⎫ ç1⎪ 1ç2⎪, 1ç⎪ 1 ç⎪ ⎝⎭ 1 ⎛-1⎫ 6ç⎪ ⎝⎭ ç1⎪ ⎛-1⎫ 再求6的特征向量: (A-6E)x=0的基础解系为α =ç0⎪,单位化得β= 1ç0⎪, 2ç⎪ 1 ç⎪ ⎝⎭ ⎛1⎫ 22ç⎪ ⎝⎭ ç1⎪ ⎛1⎫ 再求-3的特征向量: (A+3E)x=0的基础解系为α =ç-1⎪,单位化得β= 1ç-1⎪,故 ⎛-236⎫ 3ç⎪ 1 ç⎪ ⎝⎭ 33ç⎪ ⎝⎭ ç236⎪ ç⎪ ç36⎪ Q=(β2,β3,β1)=ç0-33⎪ ç⎪ ç236⎪ ç236⎪ ⎝⎭ (22)(本题满分11分)设随机变量X,Y相互独立,且X的概率分布为P{X=0}=P{X=2}=1, 2 ⎧2y,0 ⎩ Y的概率密度为f(y)=⎨0, 其他, (I)求P{Y≤EY}; (II)求Z=X+Y的概率密度。 【解析】(Ⅰ)由数字特征的计算公式可知: EY=⎰+∞yf(y)dy=⎰12y2dy=2。 -∞03 ⎧2⎫224 则P{Y≤EY}=P⎨Y≤ ⎬=⎰3 f(y)dy=⎰32ydy=。 ⎩3⎭-∞09 (Ⅱ)先求Z的分布函数,由分布函数的定义可知: FZ(z)=P{Z≤z}=P{X+Y≤z}。 由于X为离散型随机变量,则由全概率公式可知 =P{X=0}P{X+Y≤z|X=0}+P{X=1}P
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