空间向量和立体几何练习题及答案.docx
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空间向量和立体几何练习题及答案
1.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD丄平面ABCD,
点M在线段PB上,PD//平面MAC,PA=PD链,AB=4
(1)求证:
M为PB的中点;
(2)求二面角B-PD-A的大小;
(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.
【分析】
(1)设ACnBD=O,则0为BD的中点,连接0M,利用线面平行的性
质证明0M//PD,再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点;
(2)取AD中点G,可得PG丄AD,再由面面垂直的性质可得PG丄平面ABCD
则PG丄AD,连接0G,贝UPG丄0G,再证明0G丄AD.以G为坐标原点,分别以
GDG0GP所在直线为X、y、z轴距离空间直角坐标系,求出平面PBD与平面
PAD的一个法向量,由两法向量所成角的大小可得二面角B-PD-A的大小;
(3)求出?
5的坐标,由?
5与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直
线MC与平面BDP所成角的正弦值.
【解答】
(1)证明:
如图,设ACnBD=0,•••ABCD为正方形,•••0为BD的中点,连接0M,•••PD//平面MAC,PD?
平面PBD,平面PBDn平面AMC=0M,
•••PD//0M,则BO二BM,即M为PB的中点;
BDBP
(2)解:
取AD中点G,
•••PA=PD二PG丄AD,
•••平面PAD丄平面ABCD,且平面PADn平面ABCD=AD
•••PG丄平面ABCD贝UPG丄AD,连接0G,贝UPG丄0G,
由G是AD的中点,0是AC的中点,可得0G//DC,贝U0G丄AD.
以G为坐标原点,分别以GDG0、GP所在直线为X、y、z轴距离空间直角坐标
系,
由PA=PD=^,AB=4,得D(2,0,0),A(-2,0,0),P(0,0,Vs),C(2,
4,0),B(-2,4,0),M(-1,2,¥),
DP=C-2,dD,丽二(-q,40).
设平面PBD的一个法向量为祜(丈,y,忑),
取平面PAD的一个法向量为;二3,1,0).
二COS Gild2X1-2 •••二面角B-PD-A的大小为60° (3)解: 而二〔-3,-2,¥),平面BDP的一个法向量为1,逅). •••直线MC与平面BDP所成角的正弦值为IcosV面,■;> |=|CMfI=|电I 11冋I打1丄乂I19. 2 【点评】本题考查线面角与面面角的求法,训练了利用空间向量求空间角,属中档题. 2.如图,在三棱锥P-ABC中,PA1底面ABC,/BAC=90•点D,E,N分别为棱PAPCBC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4AB=2. (I)求证: MN//平面BDE (n)求二面角C-EM-N的正弦值; (m)已知点H在棱PA上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为薯,求线 段AH的长. 【分析】(I)取AB中点F,连接MF、NF,由已知可证MF//平面BDENF//平 面BDE得至U平面MFN//平面BDE贝UMN//平面BDE (n)由PA1底面ABC,/BAC=90.可以A为原点,分别以ABAC、AP所在 直线为X、y、z轴建立空间直角坐标系.求出平面MEN与平面CME的一个法向 量,由两法向量所成角的余弦值得二面角C-EM-N的余弦值,进一步求得正弦 值; (m)设AH=t,则H(0,0,t),求出而、況的坐标,结合直线NH与直线BE所成角的余弦值为也列式求得线段AH的长. 21 【解答】(I)证明: 取AB中点F,连接MF、NF, •••M为AD中点,•••MF//BD,•••BD? 平面BDE,MF? 平面BDE二MF//平面BDE•••N为BC中点,•••NF//AC, 又D、E分别为AP、PC的中点,•••DE//AC,贝UNF//DE. VDE? 平面BDE,NF? 平面BDE二NF//平面BDE 又MFnNF=F. •••平面MFN//平面BDE,贝UMN//平面BDE (n)解: VPA! 底面ABC/BAC=90. VPA=AC=4AB=2 则Mi5=Cb2,-1),ME=(0* 1), (0,2,2), 由號;,得儘丁,取z=十⑷-2). 由图可得平面CME的一个法向量为二(1,0,0). ••cos^m门=■————$■• |;||n|何江121 •二面角C-EM-N的余弦值为也! ,则正弦值为回區; 2121 (m)解: 设AH=t,则H(0,0,t),HH=C-1,—乙t),瓦二(—占2、2). •••直线NH与直线BE所成角的余弦值为辽, 2t-2 21 •Icosv就況>1=1鬻墨1=1/罕2I誓 INHIIBEIX2^3 为評寺 •••当H与P重合时直线NH与直线BE所成角的余弦值为兽,此时线段AH的长 【点评】本题考查直线与平面平行的判定,考查了利用空间向量求解空间角,考查计算能力,是中档题. 3.如图,几何体是圆柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在 直线为旋转轴旋转120°得到的,G是DF的中点. (I)设P是&上的一点,且AP丄BE求/CBP的大小; (n)当AB=3,AD=2时,求二面角E—AG—C的大小. 【分析】(I)由已知利用线面垂直的判定可得BEX平面ABP,得到BE1BP,结 合/EBC=120求得/CBP=30; (n)法一、取缸的中点H,连接EH,GH,CH,可得四边形BEGH为菱形,取 AG中点M,连接EM,CM,EC,得到EM! AG,CM! AG,说明/EMC为所求二面角的平面角.求解三角形得二面角E-AG-C的大小. 法二、以B为坐标原点,分别以BEBP,BA所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.求出A,E,G,C的坐标,进一步求出平面AEG与平面ACG的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值可得二面角E-AG-C的大小. 【解答】解: (I)vAPIBE,AB丄BE,且AB,AP? 平面ABP,ABAAP=A•••BE! 平面ABP,又BP? 平面ABP,•••BE! BP,又/EBC=120, 因此/CBP=30; (n)解法一、 取EC的中点H,连接EH,GH,CH, •••/EBC=120,.・.四边形BECH为菱形,•••AE=GE=AC=GC^^=届. 取AG中点M,连接EM,CM,EC 贝UEM! AG,CM! AG, •••/EMC为所求二面角的平面角. 又AM=1,AEM=CM訝13-1二刘2在^BEC中,由于/EBC=120, 由余弦定理得: EC=22+22-2X2X2Xcos120°12, •••昨2並,因此△EMC为等边三角形, 故所求的角为60°解法二、以B为坐标原点,分别以BE,BP,BA所在直线为x,y,z轴建立空间 直角坐标系. 由题意得: A(0,0,3),E(2,0,0),G(1,^3,3),C(-1,^3,0), 故血二⑵0,-3),V3,0),丘二⑵0, 引)为平面AEG的一个法向量, 二cos<忌=: 二「 [THn •••二面角E-AG-C的大小为60° 【点评】本题考查空间角的求法,考查空间想象能力和思维能力,训练了线面角的求法及利用空间向量求二面角的大小,是中档题. 4.如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD /AFD=90,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60° (I)证明平面ABEFL平面EFDC (n)求二面角E-BC-A的余弦值. 【分析】(I)证明AF丄平面EFDC利用平面与平面垂直的判定定理证明平面 ABEFI平面EFDC (n)证明四边形EFDC为等腰梯形,以E为原点,建立如图所示的坐标系,求 出平面BEC平面ABC的法向量,代入向量夹角公式可得二面角E-BC-A的余 弦值. 【解答】(I)证明: •••ABEF为正方形,•••AF丄EF. V/AFD=90,•••AF丄DF, VDFnEF=F•••AF丄平面EFDC VAF? 平面ABEF •••平面ABEFL平面EFDC (n)解: 由AFLDF,AFLEF, 可得/DFE为二面角D-AF-E的平面角; 由ABEF为正方形,AF丄平面EFDC VBE! EF,•••BE! 平面EFDC 即有CElBE, 可得/CEF为二面角C-BE-F的平面角. 可得/DFE=/CEF=60. VAB//EF,AB? 平面EFDCEF? 平面EFDC•••AB//平面EFDC V平面EFDCn平面ABCD=CDAB? 平面ABCD•••AB//CD, •••CD//EF, •••四边形EFDC为等腰梯形. 以E为原点,建立如图所示的坐标系,设FD=a 则E(0,0,0),B(0,2a,0),C(吕,0,婆a),A(2a,2a,0), 22 •••西=(0,2a,0),BC=(旦,-2a,亜a),AB=(-2a,0,0) 22 ■ 设平面BEC的法向量为^^二(xi,yi,zi),贝J丁呼°, 则* 2ayi=0 a忑 ysj-2ayi+—az1=0 ,取;=(忑,0,-1). m•BC=0 n-BC=0 n-AB=0 设平面ABC的法向量为n=(X2,y2,Z2),贝h fa丽 则“22222,取门=(0,血,4). 2日沈2二0 设二面角E-BC-A的大小为0,则cose="巳 ImHIn VS+I"V3+16 -4 2719 19, 【点评】本题考查平面与平面垂直的证明,考查用空间向量求平面间的夹角,建立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键. 5•如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点0,AB=5,AC=6点E,F分别在AD,CD上,AE=CF=,EF交于BD于点巴将^DEF沿EF折到△DE的位置,OD如. (I)证明: DH平面ABCD (n)求二面角B-D卜C的正弦值. .D 【分析】(I)由底面ABCD为菱形,可得AD=CD结合AE=CF可得EF//AC,再 由ABCD是菱形,得AC丄BD,进一步得到EF丄BD,由EF丄DH,可得EF丄DH 然后求解直角三角形得DHOH,再由线面垂直的判定得DH平面ABCD (n)以H为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系,由已知求得所用点的 坐标,得到爲.莎\疋的坐标,分别求出平面ABD与平面ADC的一个法向 量石、E,设二面角二面角B-DAC的平面角为0,求出Icosq•则二面角B-D-C的正弦值可求. 【解答】(I)证明: •••ABCD是菱形, •••AD=DC又AE=CF=, ••晋毘,贝UEF/AC, 又由ABCD是菱形,得AC丄BD,贝UEF丄BD,•••EF丄DH,J则EF丄DH •••AC=6•••AO=3, 又AB=5,AO丄OB,•••OB=4 OH翌・0D=1,贝yDH=DH=3AD •••|OD|2=|OH|2+|dH,贝Udhoh, 又OHGEF=H•••DH平面ABCD (n)解: 以H为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系, •••AB=5,AC=6 m'AB=O 由*J一.,得 □1'AD"=0 寫鳥,取X=3,得尸-4,Z=5- 设平面ABD的一个法向量为 •••二(3,-4,5). 码I3M3+5X1I7V5 ■25 同理可求得平面ADC的一个法向量门2=〔3,0,1), 设二面角二面角B-D-C的平面角为0, 贝U1cos0—_尸_ InJIn^l572X^10 【点评】本题考查线面垂直的判定,考查了二面角的平面角的求法,训练了利用平面的法向量求解二面角问题,体现了数学转化思想方法,是中档题. 6.在三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB侧面ABBiAi是边长为2的正方形,点E, F分别在线段AA1、A1B1上,且AE号,A1F弓,CE1EF. (n)若CA1CB求直线AC与平面CEF所成角的正弦值. D,连结CD,DF,DE计算DE,EF,DF,利用勾股 定理的逆定理得出DE丄EF,由三线合一得CD丄AB,故而CD丄平面ABBAi,从 而平面ABBAi丄平面ABC; (II)以C为原点建立空间直角坐标系,求出瓦和平面CEF的法向量r,贝U直线 AG与平面CEF所成角的正弦值等于Icosv二|. 【解答】证明: (I)取AB的中点D,连结CD,DF,DE. VAC=BCD是AB的中点,•CD丄AB. V侧面ABBAi是边长为2的正方形,AE专,AiF冷. •AiE冷,EF寸窃2+(舟)2普,DE寸12+(勿2您,DF寸2;(1弓)2哼, •eF^+D呂二Dh,•DE丄EF, 又CEIEF,CEADE=ECE? 平面CDE,DE? 平面CDE•••EF丄平面CDE又CD? 平面CDE•••CD丄EF, 又CD丄AB,AB? 平面ABBAi,EF? 平面ABBAi,AB,EF为相交直线,•••CD丄平面ABBiAi,又CD? ABC, (II)v平面ABBAi丄平面ABC •三棱柱ABC-AiBiCi是直三棱柱,二CC丄平面ABC. VCAICB,AB=2,•AC=BcV2. 以C为原点,以CACBCG为坐标轴建立空间直角坐标系,如图所示: n-AC 、-1-仮 InIIACjI18 •••直线AC与平面CEF所成角的正弦值为姮 IS --sinvmAC] 【点评】本题考查了面面垂直的判定,线面角的计算,空间向量的应用,属于中档题. 7.如图,在四棱锥中P-ABCDPA丄平面ABCDAD//BC,AD丄CD,且AD=CD=/2,BC=^,PA=2 (1)求证: AB丄PC; (2)在线段PD上,是否存在一点M,使得二面角M-AC-D的大小为45°如 果存在,求BM与平面MAC所成角的正弦值,如果不存在,请说明理由. 【分析】 (1)利用直角梯形的性质求出AB,AC的长,根据勾股定理的逆定理得 出AB丄AC,由PA! 平面ABCD得出AB! PA,故AB丄平面PAC于是AB! PC; (2)假设存在点M,做出二面角的平面角,根据勾股定理求出M到平面ABCD 的距离从而确定M的位置,利用棱锥的体积求出B到平面MAC的距离h,根据勾股定理计算BM,则丰^即为所求角的正弦值. 【解答】解: (1)证明: •••四边形ABCD是直角梯形, AD=CD赫,BC=W2,•••AC=4,AB吋(bc_q)JcD空施迈=4, •••△ABC是等腰直角三角形,即AB丄AC,•••PA! 平面ABCDAB? 平面ABCD•••PA! AB,•••AB丄平面PAC又PC? 平面PAC •••AB丄PC. (2)假设存在符合条件的点M,过点M作MN! AD于N,则MN//PA, 过点M作MG! AC于G,连接NG,贝UAC丄平面MNG,•••AC丄NG,即/MGN是二面角M-AC-D的平面角.若/MGN=45,贝UNG=MN,又AN^NG^MN, •••MN=1,即卩M是线段PD的中点. •••存在点M使得二面角M-AC-D的大小为45°. 在三棱锥M-ABC中,Vm-ABC^Sxabc? MN=Lx丄X4X4X, 3323 设点B到平面MAC的距离是h,则Vb-maJs△皿C叱, 3 •••MGW2MN^,.・SMAC号号^4><伍=朋, •弓X2V5,解得h=W2. 在xABN中,AB=4,AN^,/BAN=135,二BN#]6+2+2X4XX爭逅, D 』AJZ G\ 二BM二,•••BM与平面MAC所成角的正弦值为A普 P M 【点评】本题考查了项目垂直的判定与性质,空间角与空间距离的计算,属于中档题. &如图,在各棱长均为2的三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AiACG丄底面ABC, /AiAC=60. (1)求侧棱AAi与平面ABiC所成角的正弦值的大小; (2)已知点D满足瓦=瓦+反,在直线AAi上是否存在点P,使DP//平面ABiC? 若存在,请确定点P的位置,若不存在,请说明理由. 【分析】 (1)推导出AiO丄平面ABCBO丄AC,以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,利用向量法能求出侧棱AAi与平面ABiC所成角的正弦值. (2)假设存在点P符合题意,则点P的坐标可设为P(0,y,z),则 丽二碍y,Z).利用向量法能求出存在点P,使DP//平面ABiC,其坐标为(0,0,岛,即恰好为Ai点. 【解答】解: (1)v侧面AiACG丄底面ABC,作AiO丄AC于点O, •••AiO丄平面ABC. 又/ABC玄AiAC=6C°,且各棱长都相等, •AO=1,OA=OB出,BO丄AC.•••(2分) 故以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz, 则A(0,-1,0),B,0,0),Ai(0,0,冋,C(0,1,0),「•瓯=(0,1,Vs),瓦=(品0,-V3),AC=(0,2,0).•••(4分)设平面ABC的法向量为LGjy,z), n-ABt=V3x+2y-V3z=0_ 则* ',取x=1,得n=(1,0,1). n-AC=2y=0 设侧棱AAi与平面ABiC所成角的为0, tb -*AAia/F 则Sin0=os •侧棱AAi与平面ABiC所成角的正弦值为乎.…(6分) (2)・.•瓦=窥+反,而鼠二(W,-1,0),龙=(«,1,0), •••瓦=(-2硬,0,0),又•••B(如,°,°),•••点D(-V^,0,0). 假设存在点P符合题意,则点P的坐标可设为P(0,y,Z),•••丽二碍y,E)••••DP//平面ABiC,n=(-1,0,1)为平面ABC的法向量, •由AP=^^,得{囂M诉,二y=0•…(10分) 又DP? 平面ABiC,故存在点P,使DP//平面ABC,其坐标为(0,0,V5), .h 即恰好为Ai点.…(12分) Cl 【点评】本题考查线面角的正弦值的求法,考查满足条件的点是否存在的判断与求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用. 9.在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ABBA1为矩形,AB=2,AA1=^,D是AA 的中点,BD与AB1交于点0,且CO丄平面ABBiA. (I)证明: 平面ABC丄平面BCD (n)若OC=OA△AB1C的重心为G,求直线GD与平面ABC所成角的正弦值. 【分析】(I)通过证明AB1丄BD,AB」CO,推出AB丄平面BCD,然后证明平 面ABiC丄平面BCD. (n)以0为坐标原点,分别以OD,OBi,OC所在直线为X,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系0-xyz.求出平面ABC的法向量,设直线GD与平面 ABC所成角a,利用空间向量的数量积求解直线GD与平面ABC所成角的正弦值 即可. 【解答】(本小题满分12分) 解: (! )•••ABBiAi为矩形,AB=2,近,D是AAi的中点,•—BAD=90, ZABB]二90°,BB]二2逅,AD令AA]二逅 从而,t旳魯訂二卑? ,•OVZABDmZ检〈与 •••/ABD=/ABB,••-(2分) -TTTT •••ZABiB+ZBAB]二ZABD+ZBABif,;ZAOB二迈-,从而AB」BD…(4分) •••CO丄平面ABBiAi,ABi? 平面ABBiAi,;ABi丄CO,;BDACO=O二ABi丄平面BCD •••AB? 平面ABiC, •••平面ABiC丄平面BCD…(6分) (n)如图,以0为坐标原点, 面ABC的 向量为11=G,y,Z) 分别以OD,OB,OC所在直线为X,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz. 由n*AB=0,n•AC=0 W2x+y=0 .y+忑二0 f2^6,2^3F 可得*CLn厂 2V3.2V3、 I丁日 令y=1,则z=-1,誓,所以二浮-»•••(10分)乙乙 设直线GD与平面ABC所成角a, 砸2V32V3.,V2, —一4T) sina=cos IGDl-lnl任JVlQ 65' 所以直线GD与平面ABC所成角的正弦值为凹亟…(12分) 65 0. B所成角的正弦值. 【点评】本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用,直线与平面所成角的求法,考查空间想象能力以及计算能力. 10•在矩形ABCD中,AB=45,AD=^,将△ABD沿BD折起,使得点A折起至A,设二面角A'-BD-C的大小为 (1)当0=90°寸,求A的长; (2) C C B 当cos0=时,求BC与平面A 【分析】 (1)过A作BD的垂线交BD于E,交DC于F,连接CE利用勾股定理及余弦定理计算AE,CE,由AJCE得出A; (2)利用余弦定理可得A極,从而得出AJ平面ABCD以F为原点建立 坐标系,求出西和平面ABD勺法向量n,则BC与平面AB所成角的正弦值为[cosv;存1• 【解答】解: (1)在图1中,过A作BD的垂线交BD于E,交DC于F,连接CE ab=^5,AD=2V^,ABD对ab5aD2=10・ .趣警;2逅=4,be岱荷=8,cos/CBE需芈.在^BCE
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