高等数学同济五版第三章微分中值定理与导数的应用练习题册.docx
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高等数学同济五版第三章微分中值定理与导数的应用练习题册
第三章中值定理与导数的应用
第一节微分中值定理
一、填空题
5
函数yInsinx在上满足罗尔定理的值是
66
二、选择题(单选)
1•设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则
:
f(a)f(b)与
:
在佝b)内
f(x)
0之间的关系是
(A)
是的充分但非必要条件;
(B)
是
的必要但非充分条件;
(C)
是的充分必要条件;
(D)
不是
的充分条件,也不是
的必要条件.
答:
(
)
2.设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,
则
:
在(a,b)内,f(x)
0与:
在[a,b]
上f(x)
f(a)之间的关系是
(A)
是的充分但非必要条件.
(B)
是
的必要但非充分条件.
(C)
是的充分必要条件.
(D)
不是
的充分条件,也不是
的必要条件.
答:
(
)
三、不用求出函数f(x)(x1)(x
2)(x
3)(x
4)的导数,说明方程
f(x)
0有几个
实根.
四、试证明下列各题
3•设0ab,f(x)在[a,b]上可导,试证明存在
(a
b),使
X3b,证明:
在(Xi,X3)内至少有一点,使f()0.
f(b)f(a)f()ln—.a
第二节洛必达法则
、选择题(单选)
设f(X),
g(x)在X0的某去心邻域内可导,g(x)0,且适合limf(x)0及
xx0
limg(x)
0,贝V:
limf(x)与:
limf(x)的关系是
xxo
xx0g(x)
xx0g(x)
(A)是
的充分但非必要条件;(B)
是的必要但非充分条件;
(C)是
的充分必要条件;(D)
不是的充分条件,也不是
的必要条件.
答:
(
)
、试解下列各题
xa
ax
1.lim(a>0,a1)-
xaxa
11
2.lim
(二)-
3.
^2
tan(ex2
tanx
ex24)
tan2
x0xxtanx
sinx
4.limx
x0
5.lim
x0
xsinxaa
6.lim2—(a>0).
7•设函数f(x)具有二阶导数,且
f(0)0,f(0)1,f(0)
2.试求lim
x0
f(x)
x2
x0xsinx
第三节泰勒公式
一、填空题
函数ax(a0,a1)的n阶麦克劳林多项式Pn(x)
、试解下列各题
1•将函数f(x)x3x2x4在点x1处展成二阶、三阶的泰勒公式,并写出相应的拉格朗日型余项.
x
2.求函数f(x)xe的n阶麦克劳林公式.
第四节函数的单调性与曲线的凹凸性
一、填空题
3
1.函数f(x)xxsinx在区间单调增加.
2•设yf(x)在(,)上可导,且f(x)4e,则yf(x)是在(,)
1x
上的单调函数.
3•曲线yx2ex在区间是凹的(即向上凹)•
二、选择题(单选)
f(x)g(x);f(b)g(b);
x(a,b)时有不等式
(A)器器
(C)f(x)g(x)f(a)g(a);(D)f(x)g(x)f(b)g(b).
答:
()
3
x
2.使不等式arctanxx成立的最大范围是
3
答:
()
8
、确定函数y2x(x0)的单调区间.
x
四、试证明下列各题
1
1.证明:
当x0时,1x1x.
2
1
五、判定曲线yx(x0)的凹凸性.
x
六、设f(x)为二阶可导函数,f(x)0,且曲线y...f(x)有拐点P,试证P点的横坐
标满足[f(x)]22f(x)f(x).
第五节函数的极值与最大值最小值
一、填空题
1•若f(x)在含有Xo的(a,b)(其中ab)上有恒负的二阶导数,且,则
f(xo)是f(x)在(a,b)上的最大值.
2
2•函数f(x)81nxx在(0,)上的最大值是
二、选择题(单选)
1.下列有关极值的命题中,正确的是
(A)若yf(x)在xx0处有f(x0)0,则f(x)在xx0必取得极值;
(B)极大值一定大于极小值;
(C)若可导函数yf(x)在xXo处取得极值,则必有f(X。
)0;
(D)极大值就是最大值.
答:
()
f(x)f(x°)且
2.设lim21,且
xx(xX。
)
(A)f(X°)是f(x)的最大值;
(C)f(X0)是f(x)的极小值;
(B)f(X。
)是f(x)的极大值;
(D)f(x°)不是f(x)的极值.
3.设g(x)在(,
)严格单调减,又
(A)
g[f(x)]在x
X0处有极大值;
(C)
g[f(x)]在x
X0处有最小值;
答:
()
f(x)在XX0处有极大值,则必有
(B)g[f(x)]在xX0处有极小值;
(D)g[f(x)]在xx0既无极值也无最小值.
答:
()
32
四、设f(X)在(
)内可微,证明:
当
(X)少在Xa
x
0处有极值时,曲线
、求函数y2x6x18x7的极值.
yf(x)在xa的切线必过原点.
五、试解下列各题
1.求函数yx-.Ix在[5,1]上的最大值、最小值.
现有存砖只够砌20米长的墙壁.
问应围成怎样的长
3.某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋,方形才能使这间小屋的面积最大?
六、证明:
当x1时,ex1ln(1x).
第六节函数图形的描绘
填空题
1.曲线y
1
2的渐近线方程是
3
x2
2.曲线yx
In(x1)的铅直渐近线为
第七节
曲率
填空题
1•设函数y
f(x)二阶可导,且有拐点(xo,
f(x。
)),则曲线yf(x)在此拐点处的曲率
为.
2•抛物线yx24x3在顶点处的曲率为
第三章自测题
、填空题(每小题5分,共20分)
xelim
x0
2.ex的n阶麦克劳林多项式是
3•曲线y2lnxx21的拐点坐标是
二、选择题(单选)(每小题5分,共20分):
1.下列命题正确的是:
(A)
若函数f(x)满足f(X。
)0,f(X。
)0,则f(x)在Xo取得极值;
2.
3.
(B)
(C)
(D)
当f(Xo)0时,点(Xo,f(Xo))为曲线的拐点;
可微分函数f(X)在区间I上是单调增的,则f(X)0;
32
设f(x)x3x6x1,则f(x)0在(0,1)内实根不唯一.
xsinx占户
极限lim的值为:
X
xsinx
(A)
1;
(B)1
(C)0;
(D)不存在.
设函数
f(X)
ax2bx在x
1处有极小值
2,则必有:
(A)
4,b
1;(B)a4,
b7;(C)a
0,b
3;(D)
2•2
xsin
4.
极限limx的值是:
(A)1;
(B)2;
(C)不存在;
(D)
x0tanx
三、试解下列各题(每小题10分,共40分):
2x2
1Xe
1.lim3
x0xsin2x
2.
lim沁
x0
1cosx
3.求f(x)ex(x1)在[1,3]上的最大值与最小值.
4.求曲线yarctanxx的凸凹区间.
四、证明:
当x0时,ln(1x)arctanx(10分).
1x
五、证明4ax33bx22cxabc在区间(0,1)内至少有一实根,其中a,b,c均为
常数(10分).
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- 高等数学 同济 第三 微分 中值 定理 导数 应用 练习题