第四讲 相交线.docx
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第四讲 相交线.docx
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第四讲相交线
第四讲相交线
教学目标
1.理解邻补角与对顶角的有关概念,能说出邻补角与对顶角的区别与联系;掌握“对顶角相等”这一性质.
2.知道两条相交直线的夹角;理解垂直的有关概念,会用符号表示垂直;
3.能正确表示点到直线的距离.
4.理解三线八角中没有公共顶点的角的位置关系,知道什么是同位角、内错角、同旁内角.
5.通过比较、观察、掌握同位角、内错角、同旁内角的特征,能正确识别图形中的同位角、内错角和同旁内角.
教学重点
1.邻补角与对顶角的概念;对顶角性质与应用;垂线的基本性质及应用.
2.掌握同位角、内错角、同旁内角的特征.
教学难点
1.理解对顶角相等的性质.
2.能在复杂图形中正确识别图形中的同位角、内错角和同旁内角.
教学方法
建议
总结归纳,启发诱导,讲练结合,巩固优化
第一部分知识梳理
一.邻补角
如果两个角有一条公共边,它们的另一条边互为反向延长线,具有这种关系的两个角互为邻补角.
如图所示,∠AOC与∠BOC有一条公共边,另一条边互为反向延长线,这两个角即互为邻补角.
注意点:
“互为邻补角”包括两角之间的位置关系与数量关系两个方面的要求;而互为补角仅指两角之间的数量关系.
二.对顶角
如果两个角有一个公共顶点,并且其中一个角的两边分别与另一个角的两边互为反向延长线,那么具有这种关系的两个角叫做互为对顶角.
如图所示,∠AOC与∠BOD互为对顶角,∠AOD与∠BOC互为对顶角.
紧扣对顶角定义强调以下两点:
(1)辨认对顶角的要领:
一看是不是两条直线相交所成的角,对顶角与相交线是一起出现的,哪里有相交直线,哪里就有对顶角,反过来,哪里有对顶角,哪里就有相交线;二看是不是没有公共边.当两个角是两条直线相交所成的角且没有公共边时,就能确定这两个角是对顶角.如果不具备这两个条件或只具备其中的一个条件都不能确定这两个角是对顶角.
(2)对顶角是成对存在的,它们互为对顶角,如∠AOC是∠BOD的对顶角,同时,∠BOD是∠AOC的对顶角,也常说∠AOC和∠BOD是对顶角.
对顶角性质:
对顶角相等.
三.斜线
两条直线相交形成四个小于平角的角,其中不大于直角的角叫做两条直线的夹角.
如果两条直线的夹角为锐角,那么就说这两条直线互相斜交,其中一条直线叫做另一条直线的斜线.
如图所示,角
即为直线a与直线b的夹角,直线a与直线b互为斜线.
两条直线的夹角
满足
.
四.垂线
如果两条直线的夹角为直角,那么就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足.
如图所示,直线a与直线b互为垂线,点O为垂足.
“垂直”用符号“⊥”表示,读作“垂直于”.
垂线的基本性质:
在平面内经过直线上或直线外的一点作已知直线的垂线可以作一条,并且只能作一条.
简单地说:
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
五.点到直线的距离
如图所示,由点A向直线a作垂线,垂足为点B,则线段AB的长度即为点A到直线a的距离.
联结直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.
简单地说:
垂线段最短.
直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做这个点到直线的距离.
如果一个点在直线上,那么就说这个点到直线的距离为零.
六.“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角
三线八角:
两条直线与第三条直线相交,构成八个角,简称“三线八角”.
如下图,在同一平面内,直线EF分别与直线AB、CD相交于点P、Q,或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截,那么这条直线EF我们叫做截线.
1.同位角
两条直线被第三条直线所截,在截线的同侧,被截两直线的同侧,具有这种位置关系的两个角称为同位角.互为同位角的有:
∠1与∠5,∠2与∠6,∠3与∠7,∠4与∠8;
2.内错角
两条直线被第三条直线所截,两个角分别在截线的两侧,且夹在两条被截直线之间,具有这种位置关系的两个角叫做内错角.互为内错角的有:
∠3与∠5,∠4与∠6;
3.同旁内角
两条直线被第三条直线所截,在被截两直线之间,并在截线同侧,具有这种位置关系的两个角称为同旁内角.互为同旁内角的有:
∠3与∠6,∠4与∠5.
第二部分例题精讲
例1已知两直线相交,则下列结论成立的是( )
A.所构成的四个角中,有一个角是直角.
B.四个角都相等.
C.相邻的两个角互补.
D.相邻的两个角相等.
出题意图:
邻补角定义的考查
解析:
根据邻补角的定义可以得出,两条直线相交后所得的有一个公共顶点且有一条公共边的两个角叫做邻补角,但是所形成的四个角不一定相等,也不一定有直角,但是相邻的一定是互补的,因此只有选项C是正确的.
答案:
C
针对训练1
如图所示,三条直线AB,CD,EF相交于点O,则∠1的邻补角有()个.
A.1
B.2
C.3
D.4
例2如图,直线AB、CD、EF相交于O,图中对顶角共有()
A.3对
B.4对
C.5对
D.6对
出题意图:
对顶角定义的考查
解析:
两条相交线形成两对对顶角.EF与CD、EF与AB、AB与CD分别形成2对对顶角,共有6对.
答案:
D
针对训练2
如图,直线AB,CD交于点O,射线OM平分∠AOC,若∠BOD=76°,则∠COM等于( )
A.38°
B.104°
C.142°
D.144°
例3如图,过点P作直线l的垂线和斜线,叙述正确的是()
A.都能作且只能作一条
B.垂线能作且只能作一条,斜线可作无数条
C.垂线能作两条,斜线可作无数条
D.均可作无数条
出题意图:
垂线、斜线的定义的考查
解析:
由垂线的性质:
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直可知,而过一点可以作无数
条斜线,因此选项B正确.
答案:
B
针对训练3
过直线外一点,分别向这条直线画垂线和斜线,其中()最短.
A.斜线B.垂线C.垂线段D.垂线长
例4点到直线的距离是指这点到这条直线的( )
A.垂线段
B.垂线
C.垂线的长度
D.垂线段的长度
出题意图:
点到直线的距离的定义的考查
解析:
根据定义,点到直线的距离是指这点到这条直线的垂线段的长度.
答案:
D
针对训练4
如图,A点到直线的距离是线段( )
A.ABB.ACC.ADD.AE
例5在如图所示的各角中,找出同位角、内错角、同旁内角,并指出他们是由哪一条直线截哪两条直线而形成的.
出题意图:
同位角、内错角、同旁内角的定义的考查
解析:
在“三线八角”的变式图形中,找出同位角、内错角、同旁内角的关键是哪一条直线截哪两条直线,并在被截线同旁找同位角和同旁内角,在截线两旁找内错角,这样才能做到不重不漏.
答案:
同位角:
∠1与∠C,由直线DC截直线AE、CB而成的.
∠DAB与∠C,由直线DC截直线AB、CB而成的.
内错角:
∠2与∠B,由直线AB截直线AE、CB而成的.
∠DAB与∠B,由直线AB截直线CD、CB而成的.
同旁内角:
∠3与∠B,由直线AB截直线CD、CB而成的.
∠3与∠C,由直线AC截直线AB、CB而成的.
∠EAC与∠B,由直线AC截直线AE、CB而成的.
∠C与∠B,由直线BC截直线AB、AC而成的.
针对训练5
如图,指出∠EFD、∠AEF、∠A、∠CDB中:
(1)同位角有_________,是直线_______、___________被________所截.
(2)内错角有_________,是直线_______、___________被________所截;内错角还有_________,是直线_______、___________被________所截.
(3)同旁内角有_________,是直线_______、___________被________所截.
例6如图,直线CD、EF被直线AB所截.
(1)∠1与∠2,∠1与∠3,∠1与∠4是什么角?
(2)如果∠1=∠4,那么∠1和∠2相等吗?
∠1和∠3互补吗?
为什么?
出题意图:
“三线八角”应用的考查
解析:
理解同位角、内错角、同旁内角的概念,是判定三类角的关键.对顶角相等,邻补角互补是常用的两个性质,一定要熟练掌握.
答案:
(1)∠1与∠2是内错角,∠1与∠3是同旁内角,∠1与∠4是同位角.
(2)∠1和∠2相等,∠1和∠3互补.
理由如下:
∵∠4和∠2是对顶角
∴∠4=∠2
又∵∠1=∠4
∴∠1=∠2
∵∠3和∠2互补
∴∠1和∠3互补.
针对训练6
如图,找出图中∠DEA,∠ADE的同位角、内错角和同旁内角.
例7下列语句中:
(1)一条直线有且只有一条垂线.
(2)不相等的两个角一定不是对顶角.
(3)若两个角的一条对边在同一直线上,另一对边互相平行,则这两个角相等.
(4)如果两个角是邻补角,那么这两个角的平分线组成的图形是直角.
其中错误的有()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
出题意图:
对顶角、邻补角、垂线等定义的应用
解析:
一条直线有无数条垂线,
(1)错误;
(2)正确;若两个角的一对边在同一直线上,另一对边互相平行,则这两个角相等或互补,(3)错误;(4)正确;所以错误的有2个,选B.
答案:
B
针对训练7
下列说法正确的是()
A.两条直线的位置关系不平行必相交
B.两个相等的角是对顶角
C.垂线段比任何一条斜线段都短
D.邻补角的平分线互相垂直
例8如图所示,BF、DE相交于点A,BG交BF于点B,交AC于点C.
(1)指出ED、BC被BF所截的同位角,内错角,同旁内角;
(2)指出ED、BC被AC所截的内错角,同旁内角;
(3)指出FB、BC被AC所截的内错角,同旁内角.
出题意图:
同位角、内错角、同旁内角的应用
解析:
根据同位角、内错角、同旁内角的定义即可得出答案.
两条直线被第三条直线所截,在截线的同侧,被截两直线的同侧,具有这种位置关系的两个角称为同位角.两条直线被第三条直线所截,两个角分别在截线的两侧,且夹在两条被截直线之间,具有这种位置关系的两个角叫做内错角.两条直线被第三条直线所截,在被截两直线之间,并在截线同侧,具有这种位置关系的两个角称为同旁内角.
答案:
(1)同位角:
∠FAE和∠B;内错角:
∠B和∠DAB;同旁内角:
∠EAB和∠B.
(2)内错角:
∠EAC和∠BCA,∠DAC和∠ACG;同旁内角:
∠EAC和∠ACG,∠DAC和∠BCA.
(3)内错角:
∠BAC和∠ACG,∠FAC和∠BCA;同旁内角:
∠BAC和∠BCA,∠BAC和∠ABC,∠B和∠ACB,∠FAC和∠ACG.
针对训练8
如图所示:
(1)指出与∠A是同位角的有哪些角?
(2)指出与∠4是内错角的有哪些角?
(3)与∠B是同旁内角的有哪些角?
第三部分优化作业
基础训练题(A)
1.下列说法正确的是( ).
A.在同一平面内,过已知直线外一点作这条直线的垂线有且只有一条.
B.连结直线外一点和直线上任一点,使这条线段垂直于已知直线.
C.作出点P到直线的距离.
D.连结直线外一点和直线上任一点的线段长是点到直线的距离.
2.下列语句正确的是()
A.相等的角为对顶角
B.不相等的角一定不是对顶角
C.不是对顶角的角都不相等
D.有公共顶点且和为180°的两角叫做邻补角
3.画一条线段的垂线,垂足在()
A.线段上B.线段的端点上C.线段的延长线上D.以上三者之一
4.如图,下列说法不正确的是()
A.∠1与∠2是同位角B.∠2与∠3是同位角
C.∠1与∠3是同位角D.∠1与∠4不是同位角
5.
(1)经过直线外或直线上一点,有且只有_________直线与已知直线垂直.
(2)从直线外一点到这条直线的_________叫做这点到直线的距离.
(3)直线外一点与直线上各点连结的线段中,以_________为最短.
6、如图,直线AB、CD被直线EF所截,∠A和∠1是_________,∠A和∠3是_______,
∠A和∠2是____________.
7、如图,直线DE截AB、AC构成八个角:
(1)指出图中所有的同位角、内错角、同旁内角.
(2)∠A与∠5,∠A与∠6,∠A与∠8,分别是哪一条直线截哪两条直线而成的?
8.如图,三条直线两两相交,∠2与∠3互余,∠4=125°,求∠1的度数.
9.如图,已知AB、CD、EF相交于点O,EF⊥AB,ON为∠COF的平分线,∠AOC:
∠CON=4:
7,求∠DOF的大小.
10.如图,直线AB上一点O,∠BOC=∠COD,∠BOD=α.
(1)用含α的式子表示∠AOC;
(2)若∠EOC=90°,问∠AOE与∠DOE是否相等?
为什么?
11.如图,直线AB、CD、EF相交于点O,且AB⊥CD,∠1+∠2=90°,∠3=40°,求∠1的度数.
12.要把水渠中的水引导水池C,在渠岸AB的什么地方开沟,才能使沟最短?
试把你的方案在图上画出来,并说明理由.
13.如图,OC是∠AOB的平分线,在OC上取一点P.
(1)使用什么方法比较P到OA、OB的距离的大小?
比较结果如何?
(2)试在OC上另取一点Q,再比较Q到OA、OB的距离,结果又怎样?
(3)从
(1)、
(2)中,你得到什么结论?
14.如图,直线DE、EC被AB所截,如果∠1与∠3互补,那个∠1与∠4相等吗?
∠1与∠2相等吗?
为什么?
提高训练题(B)
1.两条相交直线与另外一条直线在同一平面内,它们的交点个数是().
A.1
B.2
C.3或2
D.1或2或3
2.判断题(对的打“√”,错的打“×”)
(1)没有公共边的两个角是对顶角.( )
(2)有公共顶点的两个角是对顶角.( )
(3)两条直线相交所成的四个角中,不相邻的两个角是对顶角.( )
(4)有公共顶点且有一条公共边的两个角互为邻补角.( )
(5)对顶角的补角相等.( )
3.如图,在直角⊿ABC中,∠C=90°,DE⊥AC于E,交AB于D.
(1)指出当BC、DE被AB所截时,∠3的同位角、内错角和同旁内角.
(2)试说明∠1=∠2=∠3的理由.
4.如图所示,在一个凹型图形中,下列说法都正确吗?
如果不正确,请加以更正.
(1)∠H与∠A是同旁内角,∠H与∠G是内错角;
(2)与∠D互为同旁内角的角只有∠C;
(3)图中没有同位角.
5.如图所示,a、b两条直线交于一点,生成∠9,探索∠9与原有角的位置关系.
(1)直线b、c被直线a所截,∠9与∠4是_____________.
(2)∠9与∠5是直线___________被直线___________所截形成的.
(3)∠9还与______________成内错角.
(4)图形继续发展变化,图中共有几对同旁内角?
6.已知∠AOB与∠BOC互为邻补角,OD平分∠AOB,OE在∠BOC内,∠BOC=3∠BOE,∠DOE=72°,求∠EOC.
7.如图,已知直线AB、CD相交于O,OE⊥AB,OF平分∠AOC,∠AOF+∠BOD=51°,求∠EOD的度数.
8.两条直线相交,只有一个交点,那么3条、4条、5条直线相交,最多有几个交点?
n条直线相交,最多有多少个交点?
综合迁移题(C)
1.如图,MN⊥AB,垂足为M点,MN交CD于N,过M点作MG⊥CD,垂足为G,EF过点N,且EF∥AB,交MG于H点,其中线段GM的长度到___的距离,线段MN的长度是到______的距离,又是的距离,点N到直线MG 的距离是.
2.下列说法中,正确的个数为( )
(1)有公共顶点,但没有公共边的两个角是对顶角
(2)相等的两个角是对顶角
(3)如果两个角是对顶角,那么这两个角相等
(4)如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线,这两个角是对顶角
(5)如果两个角不相等,那么这两个角不是对顶角
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
3.如图,在△ABC中,∠ABC=90,过点B作三角形ABC的AC边上的高BD,过D点作三角形ABD的AB边上的高DE.
∠A的同位角是_____________.
∠ABD的内错角是____________.
点B到直线AC的距离是线段___________的长度.
点D到直线AB的距离是线段___________的长度.
4.如图所示,把一根筷子一端放在水里,一端露出水面,筷子变弯了,它真的弯了吗?
其实没有,这是光的折射现象,光从空气中射入水中,光的传播方向发生了改变.
(1)请指出与∠1是同位角的有哪些角?
(2)请指出与∠2是内错角的有哪些角?
5.
(1)如图1中,三条直线a、b、l1两两相交,则图中共有______对同旁内角;
(2)如图2中,若l2∥l1,则图中共有对同旁内角;
(3)如图3中,若ln∥…l2∥l1,则图中共有对同旁内角.
参考答案:
针对训练
1.B
2.A
3.C
4.C
5.
(1)∠A和∠CDB;AC;DC;AB
(2)∠EFD和∠AEF;AD;DC;EF;∠EFD和∠CDB;EF;DB;DF
(3)∠AEF和∠A;AC;EF;AE.
6.∠DEA的同位角为∠C、内错角为∠BDE、同旁内角为∠A或∠ADE;
∠ADE的同位角为∠B、内错角为∠CED、同旁内角为∠AED或∠A.
7.D
8.
(1)与∠A是同位角的有∠1和∠3
(2)与∠4是内错角的有∠1和∠3
(3)与∠B是同旁内角的有∠1、∠A、∠BDE、∠BDF和∠C.
基础训练题(A)
1.A
2.B
3.D
4.C
5.
(1)一条;
(2)垂线段的长度;(3)垂线段.
6.同位角、内错角、内错角
7.
(1)图中所有的同位角有:
∠1与∠8、∠2与∠5、∠3与∠6、∠4与∠7、∠A与∠4、∠A与∠8.
图中所有的内错角有:
∠2与∠A、∠3与∠8、∠4与∠5、∠6与∠A、
图中所有的同旁内角有:
∠3与∠A、∠3与∠5、∠4与∠8、∠5与∠A、
(2)∠A与∠5,∠A与∠6,∠A与∠8都是直线AC截两条直线AB、DE而成的.
8.∠1=35°(利用∠3与∠4互补可求出∠3的度数,再利用∠2与∠3互余,求出∠2的度数,最后用一个对顶角的知识,即可求出∠1的度数.)
9.∠DOF=110°(欲求∠DOF,因∠BOF=90°,只需求出∠DOB,而∠DOB=∠AOC,所以只需求出∠AOC,从∠AOC:
∠CON=4:
7,结合ON平分∠COF和∠AOC与∠COF互余,即可求得.)
10.
(1)
(2)
(利用角平分线的知识推出∠BOC,即可算出∠AOC,再利用互余的知识即可推出∠AOE=∠DOE.)
11.∠1=40°(利用AB⊥CD推出∠FOB+∠2=90°,又因为∠1+∠2=90°,所以∠1=∠BOF,又因为∠BOF和∠3是对顶角也相等,所以∠1=∠3=40°)
12.过点C做CD⊥AB于D,CD即为开沟位置.
13.
(1)过P作OA、OB的垂线段PE、PF,测量后知PE=PF.
(2)过Q作OA、OB的垂线段QM、QN,经测量后知QM=QN.
(3)角平分线上任意一点到角的两边距离相等.
14.∠1=∠4,∠1=∠2(同角的补角相等)
提高训练题(B)
1.D
2.
(1)×
(2)×(3)√(4)×(5)√
3.
(1)∠3的同位角是∠1,∠3的内错角是∠2,∠3的同旁内角是∠4.
(2)∵在直角⊿ABC中,∠C=90°
∴∠3+∠A=90°,
又∵DE⊥AC于E
∴∠DEC=90°,⊿ADE是直角三角形
∴∠1+∠A=90°
∴∠1=∠3
又∵∠1=∠2,
∴∠1=∠2=∠3.
4.
(1)∠H与∠A是同旁内角,∠H与∠G是内错角,正确;
(2)与∠D互为同旁内角的角有∠C和∠E,,错误;
(3)图中没有同位角,正确.
5.
(1)同位角;
(2)a、c;b;内错角;
(3)∠2;(4)∠9和∠1,∠9和∠6,∠1和∠6是同旁内角
6.∠EOC=72°(运用∠AOB与∠BOC互为邻补角和OD平分∠AOB,OE在∠BOC内,∠BOC=3∠BOE,推出2∠DOB+3∠BOE=180°,再运用∠DOE=72°即∠DOB+∠BOE=72°,即可求出∠BOE的度数,从而算出∠EOC的度数.)
7.∠EOD=124°(利用角平分线和对顶角的知识,求出∠BOD,即可求出∠EOD的度数.)
8.3条相交最多有3个交点,4条相交最多有6个交点,5条相交最多有10个交点,n条相交最多有
个交点(提示:
3=1+2,6=1+2+3,10=1+2+3+4,所以n条相交最多有
个交点.)
综合迁移题(C)
1.点M,直线CD,点M,直线EF,点N到直线AB,线段GN的长度.
2.C
3.∠BDC、∠BED、∠EDC;∠BDC;BD;DE
4.
(1)与∠1是同位角的角是∠C,∠MOF,∠AOF;
(2)与∠2是内错角的角是∠MOE,∠AOE
5.
(1)6
(2)16(3)
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