张晓峒VAR模型与协整讲义.docx

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张晓峒VAR模型与协整讲义

例8.7N=3的VAR模型的3个特征根分别是1=0.9,2=0.5,3=0.04。

样本容量T=100，临界值相应给出。

见表8.1。

练习协整向量个数的检验过程。

首先检验r=0。

LR=-T[

（1-i）]=-100

=-100[log（0.1）+log（0.5）+log（0.96）]

=-100（-2.302-0.693-0.04）=303.6>34.91（临界值）

接着检验r=1。

LR=-100

=-100[log（0.5）+log（0.96）]

=-100（-0.693-0.04）=73.30>19.96（临界值）

接着检验r=2。

LR=-100log（1-3）=-100log（0.96）=-100（-0.04）=4.082<9.24（临界值）

因为r1已被拒绝，但r2未被拒绝，所以结论是该VAR模型存在2个协整向量。

如下表。

协整检验过程

零假设

N-r

特征值

迹统计量

5%水平临界值

r=rk（）=0

3

0.90

303.6>

34.91

r=rk（）1

2

0.50

73.30>

19.96

r=rk（）2

1

0.04

4.082<

9.24

注：

临界值取自附表1的b部分。

8.3.3VEC模型中确定项的处理

1．常数项的处理

VEC模型中常数项的位置可分3种情形讨论。

位置不同，相应的协整检验用表也不同。

（1）常数项完全属于协整空间。

那么可以把写成如下形式：

=1

其中是N1阶的，是Nr阶的，1是r1阶的。

以VAR模型Yt=+1Yt-1+ut为例，相应VEC模型形式是

Yt='Yt-1+1+ut=（',1）

+ut（8.100）

（2）常数项的一部分进入协整空间，一部分属于数据空间（VAR的常数项）。

下面介绍怎样把分离成两部分。

因为是Nr阶的，构造一个N（N–r）阶矩阵，使'=0。

与正交。

定义的目的是要把分离成相互无关的两部分。

=1+2（8.101）

显然1能进入协整空间（见（8.100）式）。

1属于协整空间的常数项。

因为与是正交，2不能进入协整空间。

2属于数据空间的常数项。

Yt=+'Yt-1+ut=1+2+'Yt-1+ut

=2+（',1）

+ut（8.102）

下面介绍1，2的求法。

用（'）-1'左乘（8.101）式，得

（'）-1'=（'）-1'1+（'）-1'2=1（8.103）

上式是1的计算公式。

用（'）-1'左乘（8.101）式，得

（'）-1'=（'）–1'1+（'）-1'2=2（8.104）

上式是2的计算公式。

例8.6举例说明的位置。

设N=2的VAR模型如下，

=

+

+

（8.105）

其中=

。

先求。

变化上式，

=

+

+

（8.106）

因为=

，所以=

，则'=

=0。

按（8.103）式，（'）-1'=1计算1，

1=（'）-1'=

=1/10

按（8.104）式，（'）-1'=2计算2，

2=（'）-1'=

=1/20

验证，=1+2。

=1+2=

（1/10）+

（1/20）=

+

=

按（8.102）式，VEC模型表示为

Yt=+'Yt-1+ut=1+2+'Yt-1+ut

=2+（'1）

+ut（8.107）

=

+

+

的一部分进入协整空间，一部分进入数据空间。

（3）常数项只进入数据空间（VAR的常数项），不进入协整空间。

对于（8.101）式，当1=0时，=2。

常数项只进入数据空间

Yt=+'Yt-1+ut=2+'Yt-1+ut（8.108）

2．趋势项的处理

同理，对时间趋势项t的系数也可以做上述分解。

=1+2（8.109）

1进入协整空间，表示变量协整关系中也存在线性趋势。

2进入数据空间（VAR的常数项）。

表示原变量中存在二次方的时间趋势项，或差分变量中存在一次方的时间趋势项，例如VAR模型为，

Yt=+t+1Yt-1+ut

相应的VEC模型形式是

Yt=+t+Yt-1+ut=1+2+1t+2t+'Yt-1+ut

=2+2t+（'Yt-1+1+1t）+ut（8.111）

=（2+2t）+（'Yt-1+1+1t）+ut（8.112）

=（2,2）

+（',1,1）

+ut

8.3.4协整检验用表

根据和t所在位置不同，检验协整关系的LR统计量的分布也不同。

检验时应选择相应的临界值表。

附表1给出了5种模型条件下所对应的临界值。

附表1VAR模型协整检验临界值表（迹统计量）

单位根个数

模型类型

N-r

0.10

0.05

0.01

1

2.86

3.84

6.51

模型

（1）

2

10.47

12.53

16.31

=0,=0

3

21.63

24.31

29.75

协整空间中无常数项、无趋势项。

4

36.58

39.89

45.58

数据空间中无均值、无趋势项。

5

55.44

59.46

66.52

6

78.36

82.49

90.45

7

104.77

109.99

119.80

8

135.24

141.20

152.32

9

169.45

175.77

187.31

10

206.05

212.67

226.40

11

248.45

255.27

269.81

1

7.52

9.24

12.97

模型

（2）

2

17.85

19.96

24.60

10,2=0,=0

3

32.00

34.91

41.07

协整空间中有常数项、无趋势项。

4

49.65

53.12

60.16

数据空间中无均值、无趋势项。

5

71.86

76.07

84.45

6

97.18

102.14

111.01

7

126.58

131.70

143.09

8

159.48

165.58

177.20

9

196.37

202.92

215.74

10

236.54

244.15

257.68

11

282.45

291.40

307.64

1

2.69

3.76

6.65

模型（3）

2

13.33

15.41

20.04

10,20,=0

3

26.79

29.68

35.65

协整空间中有常数项、无趋势项。

4

43.95

47.21

54.46

数据空间中有线性趋势、无二次趋势项。

5

64.84

68.52

76.07

6

89.48

94.15

103.18

7

118.50

124.24

133.57

8

150.53

156.00

168.36

9

186.39

192.89

204.95

10

225.85

233.13

247.18

11

269.96

277.71

293.44

1

10.49

12.25

16.26

模型（4）

2

22.76

25.32

30.45

10,20,10,2=0

3

39.06

42.44

48.45

协整空间中有常数项、有线性趋势项。

4

59.14

62.99

70.05

数据空间中有线性趋势、无二次趋势项。

5

83.20

87.31

96.58

6

110.42

114.90

124.75

7

141.01

146.76

158.49

8

176.67

182.82

196.08

9

215.17

222.21

234.41

10

256.72

263.42

279.07

11

303.13

310.81

327.45

1

2.57

3.74

6.40

模型（5）

2

16.06

18.17

23.46

10,20,10,20

3

31.42

34.55

40.49

协整空间中有常数项、有线性趋势项。

4

50.74

54.64

61.24

数据空间中有二次趋势项。

5

73.40

77.74

85.78

6

100.14

104.94

114.36

7

130.84

136.61

146.99

8

164.34

170.80

182.51

9

201.95

208.97

222.46

10

244.12

250.84

263.94

11

288.08

295.99

312.58

注：

1．模型

（1）-（5）分别摘自Osterwald-Lenum（1992）表0，表1*，表1，表2*，表2。

2．表示检验水平，N表示VAR模型中变量个数，r表示协整向量个数。

案例分析1：

关于中国GDP、宏观消费与基本建设投资的VEC模型分析。

（293-302）

用EViews估计VAR、VEC模型。

1．建立VAR模型

对任何一组有关系的经济变量都可以直接建立VAR模型。

最大滞后期k的选择可以依据LR检验、赤池准则、Schwartz准则。

建立VAR模型的EViews步骤是

（1）点击Quick键，选EstimateVAR功能，得如下对话框：

EViews4.1View的子菜单

图8图9

问题：

（1）非平稳经济变量之间可以建立VAR模型吗？

若不存在协整关系不可以；若存在协整关系，在滞后项充分多的前提下可以建立VAR模型。

这相当于每个方程都是AEG协整回归式。

2．检验变量间是否存在协整关系。

从工作文件中选中变量，打开数据组窗口，点击View键，选CointegrationTest功能，得如下对话框：

其中有5种选择。

①协整空间无常数项、无时间趋势项；②协整空间有常数项、无时间趋势项，数据空间无常数项；③协整空间有常数项、无时间趋势项；④协整空间有常数项、有时间趋势项，数据空间无时间趋势项；⑤协整空间有常数项、有时间趋势项，数据空间有时间趋势项。

⑥上述5种情形总览。

根据变量的实际情况作出选择。

表8.2由第2种选择（k=3）得到的输出结果

说明3个变量之间存在一个协整关系。

实际中应注意以下几点：

（1）协整检验只适用于非平稳变量，所以协整检验之前首先要对序列做单位根检验。

（2）因为检验统计量不服从通常的2分布，其分布与序列中是否有趋势以及协整方程中是否有常数项和趋势项有关系，所以协整检验之前要先决定序列中是否含有确定性或随机性趋势项以及协整方程中是否含有常数项和趋势项。

（3）在五种情形中（见图），情形1（序列中无趋势，协整方程中无常数项和趋势项）和情形5（序列中有2次趋势）实际中很少用到。

情形

（1）只有在确认序列有零均值情形下才可使用。

情形（5）只有在序列含有2次趋势的条件下才可以使用。

（4）五种情形的选择基本原则是，若序列中无趋势，选情形2。

若认为全部序列含随机趋势，则选情形3。

若认为某些序列是趋势平稳的，则选情形4。

（5）如果不容易判断属于哪一种情形，可选用总览（Summary）功能，可以给出5种情形的全部检验结果。

（6）若序列都含有单位根，但协整检验结果却是协整个数r等于序列个数N（理论上应该小于序列个数），原因可能有两条，一。

协整检验统计量功效太低。

二。

序列的样本容量太小。

（7）若迹统计量和最大特征值统计量的检验结果不一致，应选择其中更富有解释意义的一种。

（8）EViews做协整检验所用序列的最多个数是10个。

3．建立VEC模型。

EViews命令是点击Quick键，选EstimateVAR功能，得如下对话框：

在VAR设定（VARSpecification）对话框中点击VEC估计（VectorErrorCorrection），如下图，

点击OK，得如下对话框：

其中协整式（Cointegrationequation）中的选择应该与前述协整检验中的选择保持一致。

点击OK，

问题：

（1）若对协整式（Cointegrationequation）中的选择前后不一致可以否？

要慎重。

（2）写VEC表达式。

（3）解释经济意义。

注意：

（1）协整检验的临界值是对极限分布而言。

当样本容量比较小时，检验效果相当不可靠。

在小样本条件下，ReinselandAhn（1992）和Reimers（1992）建议把统计量从

LR=-T[

（1-i）],r=0,1,…,N-1.（8.93）

修改为

LR=-（T-kN）[

（1-i）],r=0,1,…,N-1（8.93）

从而改变小样本条件下过分频繁地拒绝原假设现象。

（2）通常是先确定VAR的最大滞后期k和是否包含漂移项、趋势项，然后估计协整向量个数r。

但是在实际中，r的选值对k和是否包含漂移项、趋势项的选择十分敏感。

为了使VEC模型具有实际可操作性，必须对模型的滞后期k，协整矩阵中包含几个协整向量r，协整向量中是否包括趋势项、漂移项l，即VECM模型的结构参数做出联合选择。

设向量误差修正模型用VECM（k,l,r）表示，其中k表示最大滞后阶数；l表示是否包括漂移项，趋势项。

设定漂移项，趋势项都包括时，l为1；只包括漂移项时，l为0；漂移项，趋势项都不包括时，l为-1。

）；r表示协整向量个数。

可以使用Schwartz准则BIC（统计量取极小值）确定k,l,r。

分别以滞后期k和协整向量个数r对BIC值画图，那么对应l=1,0,-1，每张图中都可以得到3个曲线。

哪一种组合的BIC值最小，该种组合最好。

如图的最佳选择是VECM（2,1,2）。

详见《金融时间序列的经济计量模型》（EconometricModelingofFinancialTimeSeries），经济科学出版社，2002，第304-307页。

上图说明向量误差修正模型选用VECM（2,1,2）模式最好。

案例分析2：

中国进出口贸易总额的协整性分析（1951-1991，file:

b7c1）。

用中国进出口贸易总额序列检验出协整关系。

用滞后2期的VAR模型最终建立起误差修正模型。

（EViews4.1）

按第3种选择（第2种选择也有同样结论）：

（EViews4.1）

（EViews3.1）

案例分析3：

英国购买力平价和利率平价的协整性分析，Johansen-Juselius（1992）

Johansen-Juselius（1992）发表在计量经济学杂志（JournalofEconometrics）第53卷，211-244页。

1．购买力平价和利率平价

同种商品在不同国家应该保持相同价格。

否则就会存在套利问题。

但是当汇率可以自由浮动时，套利问题就会消除。

用Pt表示国内商品价格，Pt*表示国外同类商品价格，Et表示购买力平价，则有

Et=Pt/Pt*

即一个单位的外国货币相当于多少本国货币。

对数形式是

LnEt=LnPt-LnPt*

3个变量的长期均衡关系是

LnPt-LnPt*-LnEt=u1t

其中ut表示非均衡误差，是一个均值为零，平稳的随机过程。

在均衡点处有ut=0。

下面考虑与商品有关的资本市场条件。

生产商品必然与金融资产相联系。

而金融资产可以用金融债券度量。

国内外对这些债券的利息率是不一样的。

分别用Rt，Rt*表示。

资本市场的套利行为对汇率形成压力。

制定汇率必须使国内外利率差与t+1期、t期之间汇率差相等，即保证

Rt-Rt*=E（t）（Et+1）-Et=u2t

其中Et表示名义汇率（货币的购买力平价）。

E（t）（Et+1）表示t期对t+1期汇率的期望。

u2t是非均衡误差，是一个平稳的随机过程。

保持Rt，Rt*相等称为利率平价。

2．协整关系的预分析

如果用

Yt=（LnPt,LnPt*,LnEt,Rt,Rt*）'

表示变量列向量，希望能存在两个协整关系。

1=（1-1-100）'

2=（0001-1）'

1表示购买力平价协整向量，2表示购利息率平价协整向量。

3．估计协整向量个数r。

用Pt表示英国商品综合批发价格指数。

Pt*表示进口商品综合批发价格指数。

Et表示英国实际汇率。

Rt表示三个月的金融债券利率。

Rt*表示三个月的欧元利率。

样本数据范围是1972:

1-1987:

2。

通过对数据走势的分析，认为批发价格指数序列中存在线性趋势。

所以在VAR模型中应该有一个非约束常数项（既进入协整空间，也进入数据空间）。

2阶VAR模型估计结果显示残差序列的峰度值很高（高峰厚尾特征），为非正态分布。

残差序列的方差很大主要是由于世界石油价格的变化造成的。

用石油价格调整批发价格指数，再次估计2阶VAR模型。

VAR模型残差序列的诊断检验结果见表1。

表1VAR模型残差的诊断检验

方程

内生变量

标准差

偏度

峰度-3

JB统计量

序列相关检验，LM（20）

1

LnPt

0.007

0.29

1.27

4.84（<5.99）

6.09（<31.41）

2

LnPt*

0.007

0.28

2.16

12.44（>5.99）

9.59（<31.41）

3

LnEt

0.030

0.30

0.17

0.95（<5.99）

13.54（<31.41）

4

Rt

0.011

0.58

0.25

3.55（<5.99）

9.11（<31.41）

5

Rt*

0.013

-0.51

3.76

37.95（>5.99）

16.41（<31.41）

注：

20.05

（2）=5.99,20.05（20）=31.41

序列相关检验结果显示5个方程的随机误差序列都不存在自相关。

但Rt和Rt*仍表现为非正态性。

这是由于它们的弱外生性造成的。

在上述2阶VAR模型基础上进行协整检验（见表2）。

结果显示协整向量个数r=2。

表2协整向量个数r的检验

H0

H1

特征根

迹统计量

协整检验临界值，=0.05

r=0

r1

0.407

80.75>

68.52

r1

r2

0.285

49.42>

47.21

r2

r3

0.254

29.26

29.68

r3

r4

0.102

11.67<

15.14

r4

r5

0.083

5.19>

3.76

4．协整向量估计结果的分析与解释

非约束的5个协整向量和5个调整向量见表3。

i和i的顺序（从左至右）与特征根的大小顺序相对应。

根据上面的协整向量个数检验结果（r=2），说明1和2是协整向量，1和2是调整向量。

表3协整参数与调整参数的估计

内生变量

协整参数向量的估计

1

2

3

4

5

LnPt

1.00

0.03

0.36

1.00

1.00

LnPt*

-0.91

0.03

-0.46

-2.40

-1.45

LnEt

-0.93

-0.10

0.41

1.12

-0.48

Rt

-3.38

1.00

1.00

-0.41

2.28

Rt*

-1.89

-0.93

-1.03

2.98

0.76

方程

调整参数向量的估计

1

2

3

4

5

LnPt

-0.07

0.04

-0.01

0.00

-0.01

LnPt*

-0.02

0.00

-0.04

0.01

0.01

LnEt

0.10

-0.01

-0.15

-0.04

-0.05

Rt

0.03

-0.15

0.03

0.01

-0.02

Rt*

0.06

0.29

0.01

0.03

-0.01

对于购买力平价的协整向量希望LnPt*与LnEt系数的符号相同，且都与LnPt的符号相反。

观察1和2，显然1是购买力平价的协整向量。

对于利率平价，希望Rt与Rt*系数的符号相反，显然2是利率平价的协整向量。

1和2是标准化后的协整向量。

对于1，取变量LnPt相应的系数为1；对于2，取变量Rt的相应系数为1。

Yt-1='Yt-1=

=

=

结构VAR模型：

AYt=D+BYt-1+FZt+vt

简化型（无约束）VAR模型：

Yt=A-1D+A-1BYt-1+A-1FZt+A-1vt

令ut=A-1vt，是无约束VAR模型的误差项，是Y的预测误差。

如果只对预测误差感兴趣，则不必关心预测误差的构成A-1vt。

在结构VAR模型中vt表示的是新息vt对内生变量的影响。

如果要得到脉冲响应和方差分解，有必要分析结构VAR模型的新息vt对内生变量Yt的影响，而不是约束VAR模型的误差项ut。

建立结构VAR模型的目的是使用经济理论从无约束VAR模型的误差项ut中获得结构VAR模型的新息。

u1=resid01/5.0846

u2=（resid02+.0022*resid01）/3.9039

u3=（resid03+.2763*resid01-.4056*resid02）/5.6798