中考数学答题技巧总结 用锐角三角函数概念解题的常见方法含答案11页.docx
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中考数学答题技巧总结用锐角三角函数概念解题的常见方法含答案11页
用锐角三角函数概念解题的常见方法
知识要点
1.锐角三角函数
(1)锐角三角函数的定义
我们规定:
sinA=
,cosA=
,tanA=
,cotA=
.
锐角的正弦、余弦、正切、余切统称为锐角的三角函数.
(2)用计算器由已知角求三角函数值或由已知三角函数值求角度
对于特殊角的三角函数值我们很容易计算,甚至可以背诵下来,但是对于一般的锐角又怎样求它的三角函数值呢?
用计算器可以帮我们解决大问题.
①已知角求三角函数值;
②已知三角函数值求锐角.
2.特殊角的三角函数值
α
sinα
cosα
tanα
cotα
30º
45º
1
1
60º
直角三角形中,30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半.
3.锐角三角函数的性质
(1)0 (2)tanα·cotα=1或tanα= ; (3)tanα= ,cotα= . (4)sinα=cos(90°-α),tanα=cot(90°-α). 方法点拨 有关锐角三角函数的问题,常用下面几种方法: 一、设参数 例1.在 中, ,如果 ,那么sinB的值等于() 图1 解析: 如图1,要求sinB的值,就是求 的值,而已知的 ,也就是 可设 则 ,选B 二、巧代换 例2.已知 ,求 的值。 解析: 已知是正切值,而所求的是有关正弦、余弦的值,我们可以利用关系式 ,作代换 ,代入即可达到约分的目的,也可以把所求的分式的分子、分母都除以 。 再把 代入,得: 原式 三、妙估计 例3.若太阳光与地面成 角,一棵树的影长为10m,则树高h的范围是(取 ) A. B. C. D. 图2 解析: 如图2,树高 ,要确定h的范围,可根据正切函数是增函数,估计 即 ,故选B 四、善转化 例4.在 中, ,求AB的长。 图3 解析: 注意题中所说的 并不是直角三角形! 如图3, 不是直角三角形,为了利用 ,可以作 于D,这样 就是一直角三角形中的一角, 也出现在另一个直角三角形中, 设 ,则 由 ,得 即CD=1,BD=3 再有 五、适时构造 例5.不查表,不用计算器,求 的值。 解析: 我们可以先画 ,使 ,如图4,延长CA至D,使AD=AB,连结BD,则 , 图4 设BC=1,则 六、准确分类 例6.“曙光中学”有一块三角形形状的花圃ABC,现可直接测量到 ,AC=40米,BC=25米,请你求出这块花圃的面积。 图5图6 解析: 中,已知两边和其中一边的对角,这时特别注意 的形状不惟一! 要分两种情况分别求出,如图5、图6,作 ,分出直角三角形后,可求得面积应为: 针对性训练 1.在Rt△ABC中,∠C为直角,sinA= ,则cosB的值是() A. B. C.1D. 2.下列各式不成立的是() A.sin50° C.tan22° 3.∠A是锐角,tanA> ,则∠A() A.小于30°B.大于30°C.小于60°D.大于60° 4.下列各式正确的是() A.sin30°+sin30°=sin60°B.tan60°-tan30°=tan30° C.cos(60°-30°)=cos60°-cos30°D.3tg30°= 5.一个人从山下沿30°角的坡路向上攀登,如果在坡面上走了100米,那么他上升的高度是() A.100米B.50米C.50 米D.无法确定 6.在△ABC中∠C为直角,各边长均扩大2倍,则锐角A的四个三角函数值() A.都扩大2倍B.都缩小2倍 C.没有变化D.有的扩大2倍,有的缩小2倍 7. 的值等于() A.-1- B.- C. D.1+ 8.用计算器求“已知cotα=1.515,求α”时,先计算() A. B.αC. D.1+ 9.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2 ,BC=2,则cosA=______. 10.若sin(90°-α)= ,则cos(90°-α)=______. 11.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA= ,b=6,则c=______. 12.2cos30°-3tanα=0,则锐角α是_____度. 13.用不等号连接右面的式子: cos40°_____cos20°,sin37°______sin42°. 14.计算: sin45°- cos60°=_______,(sin30°+tan45°)·cos60°=_______. 15.在Rt△ABC中,∠C为直角,若sinA= ,则cosB=_______. 16.若tanα·tan35°=1,则锐角α的度数等于________. 17.△ABC中,∠C为直角,∠A、∠B、∠C所对的边分别是a,b,c,已知b=3,c= ,求∠A的四个三角函数. 18.正方形ABCD中的正三角形ABP,已知正方形的边长为1,试计算tan∠PAD. 19.一个等腰三角形的两边是10、12,这个三角形顶角的正弦、余弦、正切、余切. 20.如图是一块三角形形状的草坪ABC,经测量: ∠B=30°,∠A=45°,BC=25m,请你求出这块花圃的面积.(结果用根号表示) 21.△ABC中,│cosA- │+(sinB- )2=0,求∠C. 答案: 1.D[点拨]sinA= ,所以∠A=45°,所以cos∠A= . 2.B[点拨]余弦函数值随角度的增大而减小,所以cos1° 3.B[点拨]因为tanA> ,所以tan>tan30°. 又因为正切值随着角度的增大而减小,所以∠A>30°. 4.D 5.B[点拨]他上升的高度为100×sin30°=50. 6.C 7.D[点拨] = =1+ . 8.A 9. [点拨]此题有多种方法,这里例举一种: AB= = =4,cosA= = . 10. [点拨]因为sin(90-α)= ,所以90°-α=60°, 所以cos(90°-α)=cos60°= . 11. [点拨]tanA= = ,a= ,c= = . 12.30°[点拨]因为2cos30°-3tanα=0,所以tanα= ,α=30°. 13.<,<[点拨]正弦值随着角度的增大而增大,余弦值随着角度的增大而减小. 14. , [点拨] sin45°- cos60°= × - × = ; (sin30°+tan45°)·cos60°=( +1)× = . 15. [点拨]因为∠A=90°-∠B,所以sinA= =sin(90°-∠B)=cosB. 16.55°[点拨]因为tan35°·cot35°=1,tanα·tan35°=1, 所以tanα=cot35°,α=55°. 17.解: 根据勾股定理得: a= = , 所以sinA= ,cosA= ;tanA= ,cotA= . 18.解: 过点P作PE⊥AD,交BC于点F(如图所示). 显然EF=1,BF=CF= ,AD=ED= . 在直角三角形BFP中,PF=sin60°×BP= ×1= . pE=EF-PF=1- = . 在△AEP中,∠AEP=90°,所以tan∠PAD= =2- . 19.解: 如图所示: AB=AC=10,BC=12,作AD⊥BC于点D,作CE⊥AB于点E. ∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=CD=6. 在直角三角形ABD中,AD= = =8. 又∵S△ABC= AB·CE= BC·AD,所以10×CE=12×8,CE=9.6. 在直角三角形ACE中,AE= = =2.8. 所以sin∠BAC= =0.96,cos∠BAC= =0.28, tan∠BAC= ,cot∠BAC= . 20.解: 如图,过B作BD⊥AC于点D. 在直角三角形BCD中,∠B=30°,∠BDC=90° sinB= ,即CD=BC×sinB=25×sin30°=12.5(米) BD=BC×cosB=25× = (米) 在直角三角形ACD中,∠A=45° 所以AD=CD=12.5(米) AB=BD+AD=12.5+ = (米) 所以三角形地ABC的面积是 AB·CD= × × (平方米) 答: 略. 21.解: ∵│cosA- │≥0,(sinB- )2≥0且│cosA- │+(sinB- )2=0 ∴│cosA- │=0,(sinB- )2=0 所以cosA- =0,sinB- =0,即cosA= ,sinB= , 因此∠A=45°,∠B=30° 所以∠C=180°-45°-30°=105°.
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