直线的一般式方程与直线的性质高中数学知识点讲解含答案.docx
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直线的一般式方程与直线的性质高中数学知识点讲解含答案
直线的一般式方程与直线的性质(北京习题集)(教师版)
一.选择题(共7小题)
1.(2017秋•东城区期末)将直线x2y0绕坐标原点逆时针旋转90,再向下平移1个单位,所得到直线的方程
为( )
A.x2y10B.2xy10C.2xy10D.2xy10
2.(2018秋•东城区校级期中)对定义域为的函数,若存在距离为的两条平行直线1:
1和
Ddlykxm
l2:
ykxm2xD
.使得当时,恒成立,则称函数在有一个宽度为的通道有
kxm„fx„kxmf(x)xDd
1()2
1
下列函数:
(1);
(2);(3);(4).其中在,上通
f(x)f(x)sinxf(x)x21f(x)x21[1)
x
道宽度为1的函数是( )
A.
(1)(3)B.
(2)(3)C.
(1)(3)(4)D.
(2)(3)(4)
3.(2015秋•海淀区期末)已知直线l的方程为xmy20,则直线l( )
A.恒过点(2,0)且不垂直x轴B.恒过点(2,0)且不垂直y轴
C.恒过点(2,0)且不垂直x轴D.恒过点(2,0)且不垂直y轴
4.(2016秋•海淀区校级期中)直线kxy13k,当实数k的取值变化时,所有直线都通过定点( )
A.(3,1)B.(2,1)C.(1,1)D.(0,1)
5.(2015秋•海淀区期末)已知直线l的方程为xmy20,则直线l( )
A.恒过点(2,0)且不垂直x轴B.恒过点(2,0)且不垂直y轴
C.恒过点(2,0)且不垂直x轴D.恒过点(2,0)且不垂直y轴
6.(2013秋•东城区期末)直线2x3y6在y轴上的截距为( )
A.3B.2C.2D.3
7.(2013•北京校级模拟)过直线xy20和直线x2y10的交点,且垂直于第二条直线的直线方程为( )
A.2y30B.2xy30C.xy20D.2xy20
二.填空题(共7小题)
8.(2019春•通州区期末)设直线l:
x2y20与x轴、y轴分别交于A,B两点,已知点C的坐标是(3,0),那
么CAB的正切值是 ;过C点且垂直于直线l的方程是 .
第1页(共10页)
9.(2017秋•西城区校级月考)已知直线(2t3)xy50不通过第一象限,则实数t的取值范围 .
10.(2017秋•西城区校级期中)直线l:
kxy12k0,直线l交x轴于点A,交y轴于点B,若AOB的面积为
4,则满足条件的直线有 条.
11.(2017•朝阳区模拟)若直线l经过点(1,2)且与直线2xy10平行,则直线l的方程为 .
12.(2017秋•西城区校级期中)过点P(3,2)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线方程是 .
13.(2016春•海淀区校级月考)若两点A(3,1),B(1,2),ABC的平分线在直线yx1上,则直线AC的方程是
14.(2015春•北京校级期中)经过点A(1,1)与直线x2y10垂直的直线方程 .
三.解答题(共1小题)
15.(2018春•通州区期末)已知ABC的三个顶点坐标为A(0,5),B(1,2),C(3,4).
(Ⅰ)求AB边所在的直线方程;
(Ⅱ)求线段BC的垂直平分线的方程.
第2页(共10页)
直线的一般式方程与直线的性质(北京习题集)(教师版)
参考答案与试题解析
一.选择题(共7小题)
1.(2017秋•东城区期末)将直线x2y0绕坐标原点逆时针旋转90,再向下平移1个单位,所得到直线的方程
为( )
A.x2y10B.2xy10C.2xy10D.2xy10
【分析】旋转后与原直线垂直,斜率乘积为,上下平移口诀:
上加下减,
901
【解答】解:
直线绕坐标原点逆时针旋转,所得直线的返程为,
x2y090y2x
再向下平移一个单位得:
,
y2x1
故选:
.
B
【点评】本题考查了直线的一般式方程与直线的性质.属中档题.
2.(2018秋•东城区校级期中)对定义域为D的函数,若存在距离为d的两条平行直线1:
1和
lykxm
lykxm.使得当xD时,1()2恒成立,则称函数在有一个宽度为的通道有
2:
2kxm„fx„kxmf(x)xDd
1
下列函数:
(1);
(2)f(x)sinx;(3)f(x)x21;(4)f(x)x21.其中在[1,)上通
f(x)
x
道宽度为1的函数是( )
A.
(1)(3)B.
(2)(3)C.
(1)(3)(4)D.
(2)(3)(4)
1
【分析】分别对四个函数进行分析,对于
(1)中的函数,取直线与2:
1即可,对于(3)中的
f(x)ly
1:
0ly
x
函数()1,可取直线:
和,即可
fxx2yxyx2
对于
(2)、(4)中的函数f(x)sinx,根据其函数图形的特殊性可观察得解
1
【解答】解:
①对于
(1)中的函数f(x),当,时,„,及0f(x)„1,
x[1)011
xx
取直线1:
0与2:
1即可,故函数是在,上
lyx[1)
lyf(x)1
x
通道宽度为1的函数
②对于
(2)中的函数()sin,当,时,
fxxx[1)
可知,不存在距离为1的两条平行直线1:
1和2:
2.
lykxmlykxm
使得x[1,)kxm„f(x)„kxm恒成立,
12
第3页(共10页)
故函数f(x)sinx不是在[1,)上通道宽度为1的函数.
③对于(3)中的函数2,当,时,
fxxx[1)
()1
函数的图象表示的时双曲线在第一象限的图象,
f(x)x1
2
其渐近线为;,可取直线:
和,
yxyxyx2
则有在,恒成立.
x2„x1„xx[1)
2
故函数()1是在,上通道宽度为1的函数,
fxx2x[1)
④对于(4)中的函数.
f(x)x21
设(X)1
(2)120显然不恒成立,
Gx2kxmx2kxm„
即不存在距离为1的两条平行直线lykxm和.
1:
1lykxm
2:
2
使得,恒成立,
x[1)kxm„f(x)„kxm
12
故函数()1不是在,上通道宽度为1的函数.
fxx2[1)
故选:
.
A
【点评】本题考查了直线的一般方程与直线的性质,考查了函数图象的性质,该题综合性较强.
3.(2015秋•海淀区期末)已知直线l的方程为xmy20,则直线l( )
A.恒过点(2,0)且不垂直x轴B.恒过点(2,0)且不垂直y轴
C.恒过点(2,0)且不垂直x轴D.恒过点(2,0)且不垂直y轴
【分析】由直线的方程为,令,解得即可得出定点,再利用斜率即可判断出与轴位置关
lxmy20y0xy
系.
【解答】解:
由直线的方程为,令,解得.于是化为:
yx,
lxmy20y0x211
2
(2,0)y
恒过点且不垂直轴,
故选:
.
B
【点评】本题考查了直线系的应用、斜率的意义,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
4.(2016秋•海淀区校级期中)直线kxy13k,当实数k的取值变化时,所有直线都通过定点( )
A.(3,1)B.(2,1)C.(1,1)D.(0,1)
【分析】由题意可得k(x3)(1y)0,由x30,且1y0,解方程即可得到所求定点.
第4页(共10页)
【解答】解:
直线,
kxy13k
即为,
k(x3)(1y)0
由30,且,
x1y0
解得,且,
x3y1
则直线恒过定点.
(3,1)
故选:
.
A
【点评】本题考查直线恒过定点问题解法,注意运用直线系和方程思想,考查运算能力,属于基础题.
5.(2015秋•海淀区期末)已知直线l的方程为xmy20,则直线l( )
A.恒过点(2,0)且不垂直x轴B.恒过点(2,0)且不垂直y轴
C.恒过点(2,0)且不垂直x轴D.恒过点(2,0)且不垂直y轴
【分析】分别令,或,即可判断.
x0y0
【解答】解:
xmy20,令y0,可得x2,
直线恒过定点(2,0),
令0,则,
xy20
m
ly
直线不垂直轴,
故选:
D.
【点评】本题考查直线恒通过定点以及与坐标轴的位置关系,考查学生的计算能力,属于基础题.
6.(2013秋•东城区期末)直线2x3y6在y轴上的截距为( )
A.3B.2C.2D.3
【分析】把代入方程,求到的值即为直线在轴的截距.
x0yy
【解答】解:
令x0,可得203y6,
解得2,
y
2x3y6y2
直线在轴上的截距为:
故选:
C.
【点评】本题考查直线的一般式方程,涉及直线截距的求解,属基础题.
第5页(共10页)
7.(2013•北京校级模拟)过直线xy20和直线x2y10的交点,且垂直于第二条直线的直线方程为( )
A.2y30B.2xy30C.xy20D.2xy20
【分析】联立两直线方程,求出两直线的交点坐标,再根据第二条直线的斜率,根据两直线垂直时斜率的乘积为
1
求出所求直线的斜率,即可确定出所求直线的方程.
xyx1
20
【解答】解:
联立两直线方程得:
,解得:
,即交点坐标为(1,1),
x2y10y1
Qx2y101
直线的斜率为,
2
2
所求直线方程的斜率为,
则y12(x1),即2xy30.
故选:
.
B
【点评】此题考查了直线的一般式方程,以及两条直线的交点坐标,求出两直线的交点坐标是解本题的关键.
二.填空题(共7小题)
8.(2019春•通州区期末)设直线l:
x2y20与x轴、y轴分别交于A,B两点,已知点C的坐标是(3,0),那
么CAB的正切值是 ;过C点且垂直于直线l的方程是 .
1
2
【分析】先算出直线与轴、轴交点坐标,继而求出直线、的斜率,用到角公式可以求得的正切值;
xyABACCAB
垂直于l的直线斜率是直线l斜率的负倒数,由点斜式可以求得方程.
【解答】解:
由题意知:
,,
A(2,0)B(0,1)
则,,
k1
0kACAB
2
1
012
故CAB的正切值是.
12
1()0
2
Q垂直于直线l的直线的斜率为2,
Cly02(x3)
过点且垂直于直线的方程为,
即.
2xy60
1
故答案为:
,.
2xy60
2
【点评】本题考查直线的方程,到角公式等,属于一般基础题.
9.(2017秋•西城区校级月考)已知直线不通过第一象限,则实数的取值范围 .
(2t3)xy50t[3,)
2
第6页(共10页)
【分析】直线恒过定点,斜率为,由直线不通过第一象限,可得
(2t3)xy50(0,5)32t(2t3)xy50
32t„0t
,解得范围.
【解答】解:
直线恒过定点,斜率为,
(2t3)xy50(0,5)32t
Q(2t3)xy50
直线不通过第一象限,
„3
32t0t…
,解得,
2
3
实数t的取值范围是[,).
2
3
故答案为:
[,).
2
【点评】本题考查了直线经过定点问题、斜率的应用、不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
10.(2017秋•西城区校级期中)直线l:
kxy12k0,直线l交x轴于点A,交y轴于点B,若AOB的面积为
4,则满足条件的直线有 3 条.
【分析】直线:
120,,可得,(12,0).可得Sk,化
lkxykk0A(2k1,0)
Bk1|2k1||12|4
AOB
k2k
简解出即可得出.
【解答】解:
直线:
120,,可得,B(12k,0).
lkxykk0A(2k1,0)
k
12k1
S|||12k|4
AOB
2k
,
化为:
,,
4k212k10(k0)4k24k10(k0)
322
解得:
k,或k.
1
22
因此满足条件的直线有3条.
故答案为:
3.
【点评】本题考查了直线方程、三角形面积,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
11.(2017•朝阳区模拟)若直线l经过点(1,2)且与直线2xy10平行,则直线l的方程为 2xy40 .
【分析】设过点且与直线平行的直线方程为,把点代入直线方程,求出值即
(1,2)2xy102xym0(1,2)m
得
直线l的方程.
【解答】解:
设过点且与直线平行的直线方程为,把点代入直线方程得
(1,2)2xy102xym0(1,2)
22m0m42xy40
,,故所求的直线方程为,
故答案为:
.
2xy40
第7页(共10页)
【点评】本题考查用待定系数法求直线方程的方法,设过点且与直线平行的直线方程为
(1,2)2xy10
2xym0
是解题的关键.
12.(2017秋•西城区校级期中)过点P(3,2)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线方程是 xy50或
2
yx
3
.
xy
【分析】当直线在两坐标轴上截距不等于0时,设方程为,把点P(3,2)代入方程解得a值,可得所求的
1
aa
直线方程,当截距等于0时,由点斜式可得直线方程;综合可得答案.
【解答】解:
当直线在两坐标轴上截距不等于0时,
xy
设方程为1,把点P(3,2)代入方程解得a5,
aa
xyxy50故直线方程是1,.
55
202当截距等于0时,直线的斜率为,
303
2
由点斜式可得直线方程为yx.
3
综上,所求的直线方程是50,或yx.
xy2
3
故答案为50,或yx.
xy2
3
【点评】本题考查用截距式、点斜式求直线方程的方法,体现了分类讨论的数学思想.
13.(2016春•海淀区校级月考)若两点A(3,1),B(1,2),ABC的平分线在直线yx1上,则直线AC的方程是
x2y10
【分析】设点关于直线对称的点Ax,0),则由题条件可求出.所以直线的方程为
Ayx1(
yA(0,4)AB0
2xy40C(3,2)AC
.由此知.从而得到直线的方程.
【解答】解:
设点关于直线对称的点A(x,0),
Ayx1y
0
y1
0
1
x3
则,解得x,,即.
000y04A(0,4)
y1x3
001
22
AB2xy40
直线的方程为.
2xy40
由,得x3,y2,
yx1
解得C(3,2).
第8页(共10页)
y212
直线AC的方程为:
,
x333
整理得:
x2y10.
故答案为:
x2y10.
【点评】本题考查直线方程的求法,考查对称、两点式方程等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
14.(2015春•北京校级期中)经过点A(1,1)与直线x2y10垂直的直线方程 2xy10 .
【分析】根据所求直线方程与直线x2y10垂直,设出直线方程,把点A坐标代入,即可得出所求直线方程.
【解答】解:
所求直线方程与直线x2y10垂直,
2xyc0
设方程为,
QA(1,1)
直线过点,
211
(1)c0
,
解得c1;
2xy10
所求的直线方程为.
故答案为:
.
2xy10
【点评】本题考查了求直线方程的应用问题,也考查了两条直线垂直的应用问题,是基础题目.
三.解答题(共1小题)
15.(2018春•通州区期末)已知ABC的三个顶点坐标为A(0,5),B(1,2),C(3,4).
(Ⅰ)求AB边所在的直线方程;
(Ⅱ)求线段BC的垂直平分线的方程.
【分析】(Ⅰ)直接利用两点式求直线方程;
(Ⅱ)利用中点坐标公式求BC的中点坐标,再求出BC的斜率,得到BC的垂直平分线的斜率,再由直线方程的点
斜式得答案.
【解答】解:
(Ⅰ)由直线方程的两点式可得:
AB
y
55
(2)
边所在的直线方程为,整理得;
7xy50
x001
4
(2)
(Ⅱ)线段BC的中点坐标为(2,1),线段BC的斜率为3,
31
1
则线段BC的垂直平分线的斜率为,
3
1
方程为y1(x2),整理得x3y50.
3
第9页(共10页)
【点评】本题考查直线方程的求法,是基础的计算题.
第10页(共10页)
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