浙江省宁波市届高三模拟考试二模数学试题.docx
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浙江省宁波市届高三模拟考试二模数学试题
宁波市2019年高考模拟考试
数学试卷
说明:
本试题卷分选择题和非选择题两部分,全卷共6页,满分150分,考试时间120分钟,请考生按规定用笔将所有试题的答案涂写在答题纸上。
参考公式
柱体的体积公式:
V=Sh,其中S表示柱体的底而积,h表示柱体的高;
锥体的体积公式:
V=-Sh,其中s表示锥体的底面积,h表示锥体的高;
台体的体积公式:
v=(S1++S2)h.其中S1,S2:
分别表示台体的上、下底面积,h表示台体的高:
球的表面积公式:
S=4rR3.球的体积公式:
v=,其中R表示球的半径:
如果事件A,B互斥那么P(+B)P(A)+P(B):
如果事件A,B相互独立,那么P(AB)=P(A)P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是p.那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率Pn(k)=pk(1-p)n-k(k=0,1,2,..n)
第Ⅰ卷(选择题部分,共40分)
一、选择题:
本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={x|0≤x≤7},B={x|x2﹣8x+7≥0},则A∩B=( )
A.[0,1]B.{7}C.[0,1]∪{7}D.[1,7]
2.已知双曲线(b>0)的渐近线方程为x±y=0,则b=( )
A.2B.C.D.4
3.已知复数z满足z(1+i)=1﹣i(i为虚数单位),则z的虚部为( )
A.﹣iB.iC.1D.﹣1
4.若直线l不平行于平面α,且l⊄α,则( )
A.α内的所有直线与l异面
B.α内只存在有限条直线与l共面
C.α内存在唯一直线与l平行
D.α内存在无数条直线与l相交
5.函数f(x)=xcos2|x|的图象可能为( )
A.B.
C.D.
6.宁波古圣王阳明的《传习录》专门讲过易经八卦图,如图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦),每一卦由三根线组成(“﹣”表示一根阳线,“═”表示一根阴线).从八卦中任取两卦,这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率为( )
A.B.C.D.
7.如图所示,网格纸上小正方形的边长为1.粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图,则该几何体的体积为( )
A.64B.68C.80D.109
8.已知集合M={1,2,3.…n}(n∈N*),若集合A={a1,a2}⊆M,且对任意的b∈M,存在λ,μ={﹣1,0,1}使得b=λai+μaj,其中ai,aj∈A,1≤i≤j≤2,则称集合A为集合M的基底.下列集合中能作为集合M={1,2,3,4,5,6}的基底的是( )
A.{1,5}B.{3,5}C.{2,3}D.{2,4}
9.若[x]表示不超过x的最大整数,如[2.3]=2,[4]=4,[﹣2.3]=﹣3.已知an=[10n].b1=a1,bn=an﹣10an﹣1(n∈N*,n≥2),则b2019等于( )
A.2B.5C.7D.8
10.若关于x的不等式()有正实数解,则实数λ的最小值为( )
A.9B.8C.7D.6
第1I卷(非选择题部分,共110分)
二、填空题:
本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.
11.已知log23=a,则 ,函数f(x)=a2x﹣2ax的递增区间为 .
12.已知
(1)(1﹣2x)7a0+a1x+a2x2+…a7x7,则a2= ;a0+a1+…+a7= .
13.已知随机变量X的分布列如表:
X
﹣1
0
1
P
b2
则b= ;EX= .
14.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|)图象的相邻两条对称轴之间的距离为.将f(x)的图象向左平移个单位长度后,得到函数g(x)的图象.若函数g(x)为偶函数,则φ的值为 ,此时函数f(x)在区间(0,)上的值域是 .
15.戊戌年结束,已亥年伊始.小康,小梁,小课,小杨,小刘,小林六人分成四组,其中两个组各2人,另两个组各1人,分别奔赴四所不同的学校参加演讲,则不同的分配方案有 种(用数字作答).
16.若变量x,y满足:
,且满足(t+1)x+(t﹣1)y+t+1=0,则参数t的取值范围为 .
17.已知向量,,满足||=1,||=2,||=1,则||的取值范围为 .
三、解答题:
本大题共5小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.(本题满分14分)在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且
(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)若2sinAsinB=1+cosC,∠BAC的平分线与BC交于点D,与△ABC的外接圆交于点E(异于点A),λ,求λ的值.
19.(本题满分15分)中国古代数学经典《数书九章)中,将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”,将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”.在如图所示的阳马P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=2,AB,以C的中点O为球心,AC为直径的球面交PD于M(异于点D),交PC于N(异于点C).
(Ⅰ)证明:
AM⊥平面PCD,判断四面体MCDA是否为“鳖臑”,若是,写出它每个面的直角(只需写出结论):
若不是,请说明理由:
(Ⅱ)求直线ON与平面ACM所成角的正弦值.
20.(本题满分15分)已知等差数列{an}的公差d≠0,a1=25,且a1,a11,a13成等比数列.
(Ⅰ)求使不等式an≥0成立的最大自然数n;
(Ⅱ)记数列的前n项和为Tn,求证:
21.(本题满分15分)已知抛物线C1:
y2=2px(p>0)上横坐标为3的点与抛物线焦点的距离为4.
(Ⅰ)求p的值;
(Ⅱ)设P(x0,y0)(0≤x≤2)为抛物线C1上的动点,过P作圆(x+1)2+y2=1的两条切线分别与y轴交于A、B两点.求|AB|的取值范围.
22.(本题满分15分)已知函数f(x)x+alnx.
(Ⅰ)若f(x)在(0,+∞)上为单调函数,求实数a的取值范围;
(Ⅱ)若a,记f(x)的两个极值点为x1,x2,记的最大值与最小值分别为M,m,求M﹣m的值.
一、
1.C
2.A
3.D
4.D
5.C
6.B
7.B
8.C
9.B
10.A
二、
11.∵log23=a,
∴3,
则2
∵a>1,令t=ax,则t为单调递增
∵f(x)=a2x﹣2ax,
∴f(t)=t2﹣2t,
根据复合函数的单调性质可知,要求函数f(x)=a2x﹣2ax的递增区间,只要求f(t)=t2﹣2t单调递增区间,
根据二次函数的性质可知,所求区间为t∈(1,+∞),
即x∈(0,+∞),
12.由二项式(1﹣2x)7展开式的通项得Tr+1(﹣2x)r,
则a2=(﹣2)2(﹣2)3196,
令x=1,则1+a0+a1+…+a7=(1+1)×(1﹣2)7=﹣2,
所以a0+a1+…+a7=﹣3,
13.由分布列的性质可得:
b2=1,b∈(0,1),解得b,
分布列为:
X
﹣1
0
1
P
所以EX01.
14.∵图象的相邻两条对称轴之间的距离为,
∴T=π,又ω>0,∴ω=2.
将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后,得到函数,
∵函数g(x)为偶函数,
∴φ(k∈Z),
又|φ|,∴φ,
∴f(x)=2sin(2x).
∵x∈(0,),∴2x,
∴f(x)∈(﹣1,2).
15.根据题意,分2步进分析:
①,将6人分成4组,其中两个组各2人,另两个组各1人,有45种情况,
②,将分好的4组全排列,对应四所不同的学校,有A44=24种情况,
则有45×24=1080种分配方案;
16.作出不等式组对应的平面区域如图:
(阴影部分).
由(t+1)x+(t﹣1)y+t+1=0得t(x+y+1)+x﹣y+1=0,
由,得,即(t+1)x+(t﹣1)y+t+1=0过定点M(﹣1,0),
则由图象知A,B两点在直线两侧和在直线上即可,
即[2(t﹣1)+t+1][﹣2(t+1)+3(t﹣1)+t+1]≤0,
即(3t﹣1)(2t﹣4)≤0,
解得t≤2,
即实数t的取值范围为是[].
17.因为向量,,满足||=1,||=2,||=1,
设(cosθ,sinθ),(2,0),则(2+cosβ,sinβ),
所以(2+cosθ+cosβ,sinθ+sinβ),
所以()2=(2+cosθ+cosβ)2+(sinθ+sinβ)2=6+2cos(θ﹣β)+4(cosθ+cosβ),
因为cos(θ﹣β)∈[﹣1,1],cosθ∈[﹣1,1],cosβ∈[﹣1,1],
不妨取θ=β=0,
得cos(θ﹣β)=1,cosθ=1,cosβ=1,
得6+2cos(θ﹣β)+4(cosθ+cosβ)=16,
不妨取θ=β=π,
得cos(θ﹣β)=1,cosθ=﹣1,cosβ=﹣1,
得6+2cos(θ﹣β)+4(cosθ+cosβ)=0,
故0≤6+2cos(θ﹣β)+4(cosθ+cosβ)≤16,
即0≤()2≤16,
即0≤||≤4,
三、
18.(Ⅰ)∵,
∴由正弦定理可得:
(c)c=(a+b)(a﹣b),
则:
a2=b2+c2bc,
∴可得:
cosA,
∴由A∈(0,π),可得A.
(Ⅱ)∵2sinAsinB=1+cosC=1﹣cos(A+B)=1﹣cosAcosB+sinAsinB,
∴cos(A﹣B)=1,可得:
A=B,
∴B,C,
不妨设AC=1,O为△ABC外接圆的圆心,
则AO=1,AB,∠ADC=∠EAO,
在△ADC中,由正弦定理,可得:
,可得AD.
在△AOE中,由∠OAE=∠OEA,OA=1,
从而AE,
所以λ.
19.证明:
(Ⅰ)∵AC是球的直径,则AM⊥MC,
又PA⊥平面ABCD,∴CD⊥PA,
∵CD⊥AD,∴CD⊥平面PCD,
∴AM⊥CD,
又PA=AD=2,M是PD中点,∴AM⊥PD,
∴AM⊥平面PCD,
根据证明可知四面体MCDA是“鳖臑”,
它的四个直角分别是∠AMC,∠AMD,∠ADC,∠MDC.
解:
(Ⅱ)由第一问可知AM⊥PD,又PA=AD,则M是PD中点,
∴AM=MD,MC2,
取MC中点E,则在直角△MCD中,由MD=CD,得DE⊥MC,
又AM⊥平面PCD,从而AM⊥DE,∴DE⊥平面MAC,
∴D点到平面AMC的距离为h=DE=1,
又P与D关于M对称,P点到平面AMC的距离为1,
又AN⊥PC,Rt△PAC中,,∴,
设N到平面ACM的距离为h′,则,解得h′,
在直角△NAC中,ON,
记ON与平面AMC所成角为θ,则sinθ.
∴直线ON与平面ACM所成角的正弦值为.
20.(Ⅰ)解:
由题意,,
即,得d(2a1+25d)=0.
又a1=25,d≠0,∴d=﹣2,则an=﹣2n+27,
由an≥0,得﹣2n+27≥0,∴n≤13.5.
故满足题意的最大自然数为n=13;
(Ⅱ)证明:
∵,
∴
.
从而当n≤12时,单调递增,且Tn>0,
当n≥13时,单调递增,且Tn<0,
∴T13≤Tn≤T12.
由,,知不等式成立.
21.
(1)抛物线C1:
y2=2px(p>0)的焦点为(,0),准线方程为x,
横坐标为3的点与抛物线焦点的距离为4,由抛物线的定义可得34,
可得p=2;
(2)设P(x0,y0)(0<x0≤2)为抛物线C1上的动点,可得y02=4x0
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