算法详解.docx

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算法详解

折半查找

      又称二分查找。

　　使用条件：

有序集合。

     算法思想：

先确定待查记录所在的范围（区间），然后逐步缩小范围直到找到或者不找到为止。

　　关键点在于比较中间位置所记录的关键字和给定值的比较，如果比给定值大（这里假设集合从小到大排列）那么可以缩小区间范围（集合开始-->中间位置的上一位），在比较该区间的中间位置所记录的关键字与给定值，依次循环到找到或者找不到位置。

     举例编程：

这里有一个整数数据inta[10]={1,5,10,13,17,23,65,77,81,93};

（1）这是递归（感谢园友zdd指出这里判断条件的错误，应该改为if（min>max）

//折半查找

//数组必须按照一定的顺序

//参数：

最大，最小，目标（参数类型为整数）

int BinarySearch（int min,int max,int num）

{

if（min==max）return -1;

int mid=（min+max）/2;

if（a[mid]==num）return mid;

else if（a[mid]

{

return BinarySearch（mid+1,max,num）;

}

else

{

return BinarySearch（min,mid-1,num）;

}

}

（2）非递归

//非递归算法

int BinarySearch_F（int num）

{

int min=0;

int max=9;

int mid;

while（min<=max）

{

mid=（min+max）/2;

if（a[mid]==num）return mid;

else if（a[mid]>num）max=mid-1;

else min=mid+1;

}

return -1;

}

　　性能分析：

时间复杂度O（logn）

   插入排序

　　使用条件：

可对比大小的集合。

　　算法思想：

将一个记录插入到已排好序的有序列中，从而得到一个新的，记录数增1的有序序列。

待插记录依次比较已经排好序列，如果序列数大于该待插记录，那么该序列往后挪一位，直到找到序列小于待插记录，那么此时插入到该序列的后一个位置，依次上面操作，直至插完位置。

　　举例编程：

intb[10]={77,1,65,13,81,93,10,5,23,17}将其排序

//插入排序

//这里temp是哨兵位

//从小到大

void InsertSort（）

{

int temp;

int j;

for（int i=1;i<10;i++）

{

temp=b[i];

for（j=i-1;j>=0;j--）

{

if（b[j]>temp）

{

b[j+1]=b[j];

}

else

{

break;

}

}

b[j+1]=temp;

}

cout<<"thesortis:

";

for（int i=0;i<10;i++）

{

cout<

}

cout<

}

　　　　性能分析：

时间复杂度O（n^2）

索引查找

索引查找是在索引表和主表（即线性表的索引存储结构）上进行的查找。

索引查找的过程是：

1）  首先根据给定的索引值K1，在索引表上查找出索引值等于KI的索引项，以确定对应予表在主表中的开始位置和长度，

2） 然后再根据给定的关键字K2，茬对应的子表中查找出关键字等于K2的元素（结点）。

对索引表或子表进行查找时，若表是顺序存储的有序表，则既可进行顺序查找，也可进行二分查找，否则只能进行顺序查找。

一提到“索引”，估计大家第一反应就是“数据库索引”，对的，其实主键建立“索引”，就是方便我们在海量数据中查找。

 实现索引查找时常使用的三个术语：

1） 主表：

这个很简单，要查找的对象。

2）  索引项：

一般我们会用函数将一个主表划分成几个子表，每个子表建立一个索引，这个索引叫做索引项。

3） 索引表：

索引项的集合也就是索引表。

一般“索引项”包含三种内容：

index，start ,lemgth 

 第一：

 index，也就是索引指向主表的关键字。

第二：

start，也就是index在主表中的位置。

第三：

length, 也就是子表的区间长度。

 代码实现：

[java] viewplaincopy

1.public class IndexSearch {  

2.  

3.    // 主表  

4.    static int[] students = { 101, 102, 103, 104, 105, 0, 0, 0, 0, 0, 201, 202,  

5.            203, 204, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 301, 302, 303, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 };  

6.    // 索引表  

7.    static IndexItem[] indexItem = { new IndexItem（1, 0, 5）,  

8.            new IndexItem（2, 10, 4）, new IndexItem（3, 20, 3）, };  

9.  

10.    // 查找数据  

11.    public static int indexSearch（int key） {  

12.        IndexItem item = null;  

13.  

14.        // 建立索引规则  

15.        int index = key / 100;  

16.  

17.        // 首先去索引找  

18.        for （int i = 0; i < indexItem.length; i++） {  

19.            if （indexItem[i].index == index） {  

20.                item = new IndexItem（index, indexItem[i].start,  

21.                        indexItem[i].length）;  

22.                break;  

23.            }  

24.        }  

25.  

26.        // 如果item为null，则说明在索引中查找失败  

27.        if （item == null）  

28.            return -1;  

29.  

30.        for （int i = item.start; i < item.start + item.length; i++） {  

31.            if （students[i] == key） {  

32.                return i;  

33.            }  

34.        }  

35.        return -1;  

36.    }  

37.  

38.    // / 插入数据  

39.    public static int insert（int key） {  

40.        IndexItem item = null;  

41.        // 建立索引规则  

42.        int index = key / 100;  

43.        int i = 0;  

44.        for （i = 0; i < indexItem.length; i++） {  

45.            // 获取到了索引  

46.            if （indexItem[i].index == index） {  

47.                item = new IndexItem（index, indexItem[i].start,  

48.                        indexItem[i].length）;  

49.                break;  

50.            }  

51.        }  

52.        if （item == null）  

53.            return -1;  

54.        // 更新主表  

55.        students[item.start + item.length] = key;  

56.        // 更新索引表  

57.        indexItem[i].length++;  

58.        return 1;  

59.    }  

60.  

61.    public static void main（String[] args） {  

62.        int value = 205;  

63.        // 将205插入集合中，过索引  

64.        int index = insert（value）;  

65.        insert（308）;  

66.  

67.        // 如果插入成功，获取205元素所在的位置  

68.        if （index == 1） {  

69.            System.out.println（"\n插入后数据：

" + Arrays.toString（students））;  

70.            System.out.println（"\n数据元素：

205在数组中的位置为 " + indexSearch（205） + "位"）;  

71.        }  

72.  

73.    }  

74.  

75.}  

76.  

77.// 索引项实体  

78.class IndexItem {  

79.    // 对应主表的值  

80.    public int index;  

81.    // 主表记录区间段的开始位置  

82.    public int start;  

83.    // 主表记录区间段的长度  

84.    public int length;  

85.  

86.    public IndexItem（） {  

87.    }  

88.  

89.    public IndexItem（int index, int start, int length） {  

90.        this.index = index;  

91.        this.start = start;  

92.        this.length = length;  

93.    }  

94.}  

95.  

96.运行结果：

97.原数据为：

[101, 102, 103, 104, 105, 0, 0, 0, 0, 0, 201, 202, 203, 204, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 301, 302, 303, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]  

98.  

99.插入后数据：

[101, 102, 103, 104, 105, 0, 0, 0, 0, 0, 201, 202, 203, 204, 205, 0, 0, 0, 0, 0, 301, 302, 303, 308, 0, 0, 0, 0, 0, 0]  

100.  

101.数据元素：

205在数组中的位置为 14位 

　插入排序（InsertionSort）的基本思想是：

每次将一个待排序的记录，按其关键字大小插入到前面已经排好序的子文件中的适当位置，直到全部记录插入完成为止。

   　本节介绍两种插入排序方法：

直接插入排序和希尔排序。

直接插入排序基本思想

1．直接插入排序的基本思想 

直接插入排序（StraightInsertionSorting）的基本思想是：

把n个待排序的元素看成为一个有序表和一个无序表，开始时有序表中只包含一个元素，无序表中包含有n-1个元素，排序过程中每次从无序表中取出第一个元素，将它插入到有序表中的适当位置，使之成为新的有序表，重复n-1次可完成排序过程。

把a[i]插入到a[0]，a[1]，...,a[i-1]之中的具体实施过程为:

先把a[i]赋值给变量t,然后将t依次与a[i-1],a[i-2],...进行比较,将比t大的元素右移一个位置,直到发现某个j（0<=j<=i-1）,使得a[j]<=t或j为（-1）,把t赋值给a[j+1].

2、第i-1趟直接插入排序：

   　通常将一个记录R[i]（i=2，3，…，n-1）插入到当前的有序区，使得插入后仍保证该区间里的记录是按关键字有序的操作称第i-1趟直接插入排序。

   　排序过程的某一中间时刻，R被划分成两个子区间R[1．．i-1]（已排好序的有序区）和R[i．．n]（当前未排序的部分，可称无序区）。

   　直接插入排序的基本操作是将当前无序区的第1个记录R[i]插人到有序区R[1．．i-1]中适当的位置上，使R[1．．i]变为新的有序区。

因为这种方法每次使有序区增加1个记录，通常称增量法。

   　插入排序与打扑克时整理手上的牌非常类似。

摸来的第1张牌无须整理，此后每次从桌上的牌（无序区）中摸最上面的1张并插入左手的牌（有序区）中正确的位置上。

为了找到这个正确的位置，须自左向右（或自右向左）将摸来的牌与左手中已有的牌逐一比较。

一趟直接插入排序方法

1．简单方法

   　首先在当前有序区R[1..i-1]中查找R[i]的正确插入位置k（1≤k≤i-1）；然后将R[k．．i-1]中的记录均后移一个位置，腾出k位置上的空间插入R[i]。

  注意：

   　若R[i]的关键字大于等于R[1．．i-1]中所有记录的关键字，则R[i]就是插入原位置。

2．改进的方法

　　一种查找比较操作和记录移动操作交替地进行的方法。

具体做法：

   　将待插入记录R[i]的关键字从右向左依次与有序区中记录R[j]（j=i-1，i-2，…，1）的关键字进行比较：

   　①若R[j]的关键字大于R[i]的关键字，则将R[j]后移一个位置；

      ②若R[j]的关键字小于或等于R[i]的关键字，则查找过程结束，j+1即为R[i]的插入位置。

   　关键字比R[i]的关键字大的记录均已后移，所以j+1的位置已经腾空，只要将R[i]直接插入此位置即可完成一趟直接插入排序。

直接插入排序算法

1．算法描述

 实现程序

voidinsert_sort（ElemTypea[],intn）

//待排序元素用一个数组a表示，数组有n个元素

{inti,j;

ElemTypet; 

for（i=1;i

{t=a[i];//把待排序元素赋给t

j=i-1; 

while（（j>=0）&&（t

{a[j+1]=a[j];j--;}//顺序比较和移动

a[j+1]=t;}

}

4、直接插入排序的效率分析

（1）时间复杂度

从时间分析，首先外层循环要进行n-1次插入，每次插入最少比较一次（正序），移动两次；最多比较i次，移动i＋2次（逆序）（i=1，2，…，n-1）。

若分别用Cmin，Cmax和Cave表示元素的总比较次数的最小值、最大值和平均值，用Mmin，Mmax和Mave表示元素的总移动次数的最小值、最大值和平均值，则上述直接插入算法对应的这些量为：

Cmin=n-1Mmin=2（n-1）

Cmax=1+2+…+n-1=（n2-n）/2Mmax=3+4+…+n+1=（n2+3n-4）/2

Cave=（n2+n-2）/4Mmax=（n2+7n-8）/4

因此，直接插入排序的时间复杂度为O（n2）。

由上面对时间复杂度的分析可知,当待排序元素已从小到大排好序（正序）或接近排好序时,所用的比较次数和移动次数较少;当待排序元素已从大到小排好序（逆序）或接近排好序时,所用的比较次数和移动次数较多,所以插入排序更适合于原始数据基本有序（正序）的情况. 

插入法虽然在最坏情况下复杂性为O（n^2），但是对于小规模输入来说，插入排序法是一个快速的排序法。

许多复杂的排序法，在规模较小的情况下，都使用插入排序法来进行排序，比如快速排序。

（2）空间复杂度

首先从空间来看，它只需要一个元素的辅助空间，用于元素的位置交换O

（1）

（3）稳定性:

插入排序是稳定的,因为具有同一值的元素必然插在具有同一值得前一个元素的后面,即相对次序不变.

（4）结构的复杂性及适用情况

插入排序是一种简单的排序方法,他不仅适用于顺序存储结构（数组）,而且适用于链接存储结构,不过在链接存储结构上进行直接插入排序时,不用移动元素的位置,而是修改相应的指针。

折半插入排序

　　使用条件：

可对比大小的集合。

　　算法思想：

基本思想与简单插入排序思想相似，唯一的不同点在于找出插入的位置，简单插入排序用的是依次比较，这里折半插入排序改进了，将依次查找改进成折半查找

　　举例编程：

intb[10]={77,1,65,13,81,93,10,5,23,17}将其排序

void BinaryInsertSort（）

{

int temp,min,max,mid;

int j;

for（int i=1;i<10;i++）

{

min=0;max=i-1;

temp=b[i];

while（min<=max）

{

mid=（min+max）/2;

if（b[mid]>temp）

{

max=mid-1;

}

else

{

min=mid+1;

}

}

for（j=i-1;j>=max+1;j--）

{

b[j+1]=b[j];

}

b[max+1]=temp;

}

cout<<"thesortis:

";

for（int i=0;i<10;i++）

{

cout<

}

cout<

}

　　性能分析：

时间复杂度O（n^2）

　　虽然这里时间复杂度与简单插入排序一样，但是通过查找找到插入的位置用的比较次数是明显减少的。

冒泡排序

使用条件：

集合的元素可对比大小

算法思想：

连续地扫描待排序的记录，每扫描一次，都会找出最小记录，使之更接近顶部。

由于每次扫描都会把一条记录置于它的最终最正确的位置，因此下次扫描不需要重新检查这条记录

举例编程：

intb[10]={77,1,65,13,81,93,10,5,23,17}将其冒泡排序（这里笔者将概念弄混淆了，感谢zdd的指出）

//冒泡排序

void Bubble（int b[10]）

{

int temp;

int i;

for（i=9;i>0;i--）

{

for（int j=0;j

{

if（b[j]>b[j+1]）

{

temp=b[j];

               b[j]=b[j+1];

               b[j+1]=temp;

　　　　　　　}

}

}

cout<<"thesortis:

";

for（int i=0;i<10;i++）

{

cout<

}

cout<

}

性能分析：

时间复杂度O（n^2）

希尔排序

使用条件：

集合的元素可对比大小

算法思想：

先将整个待排记录序列分割成为若干子序列分别进行直接插入排序，待整个序列中的记录“基本有序“时，在对全体记录进行一次直接插入排序。

子序列构成的不是简单“逐段分割”，而是相隔某个“增量”的记录组成一个子序列。

因此比较排序时候关键字较小的记录就不是一步一步往前挪动，而是相隔一定增量移动，该“增量”呈现一个递减趋势，最后这个“增量”总是为1，那么此时序列已基本有序，只要作少量的比较和移动几个完成排序。

希尔排序不好把握增量的设定。

一般8个数我们认为设定“增量”为：

4,2,1。

（这是一般希尔排序的设定）。

那么笔者这里要拟定一个求“增量”的公式h（n+1）=3*h（n）+1,（h>N/9停止）这个公式可能选择增量不是最合适，但是却适用一般“增量”的设定。

如果是8个数的话，那么这里增量就是1。

举例编程：

intb[10]={77,1,65,13,81,93,10,5,23,17}将其希尔排序

//希尔排序自增量需要自己合适选择

void ShellSort（int b[10]）

{

int h,i;

int n=10;

//通过这个循环算出增量为1和4

for（h=1;h<=n/9;h=3*h+1）;

//增量循环

for（;h>0;h/=3）

{

for（i=h;i

{

int j,temp;

temp=b[i];

//插入排序

for（j=i-h;j>=0;j=j-h）

{

if（b[j]>temp）

{

b[j+h]=b[j];

}

else

{

break;

}

}

b[j+h]=temp;

}

}

cout<<"thesortis:

";

for（int i=0;i<10;i++）

{

cout<

}

cout<

}

性能分析：

时间复杂度对于希尔排序就有点复杂，它根据具体的“增量”不同而不同，这里笔者采用严蔚敏《数据结构》的O（n^3/2）

快速排序

使用条件：

可对比大小的集合。

算法思想：

通过一趟排序将待排序记录分割成独立的两部分，其中一部分记录的关键字均比另一部分关键字小，则可分别对这两部分记录继续这种排序，最后达到有序序列。

这里有一个关键点，就是选取分割的“基准”。

肯定是大于这个“基准”分成一个部分，小于这个“基准”分成一个部分。

这里笔者默认取该部分第一个记录为“基准”。

举例编程：

intb[10]={77,1,65,13,81,93,10,5,23,17}

//快速排序

void QuickSort（int *b,int low,int high）

{

//交换函数

void Sawp（int *a,int *b）;

int Old_low=low;

int Old_high=high;

while（low

{

while（*（b+high）>*（b+low）&&low

Sawp（b+low,b+high）;

while（*（b+low）<*（b+high）&&low

Sawp（b+low,b+high）;

}

if（Old_lo