第章数值计算与数据分析.docx
- 文档编号:10000015
- 上传时间:2023-02-07
- 格式:DOCX
- 页数:22
- 大小:105.31KB
第章数值计算与数据分析.docx
《第章数值计算与数据分析.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《第章数值计算与数据分析.docx(22页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
第章数值计算与数据分析
第2章数值计算与数据分析
2.1基本数学函数
2.1.1三角函数与双曲函数
函数sin、sinh
功能正弦函数与双曲正弦函数
格式Y=sin(X)%计算参量X中每一个角度分量的正弦值Y,所有分量的角度单位为弧度。
Y=sinh(X)%计算参量X的双曲正弦值Y
注意:
sin(pi)并不是零,而是与浮点精度有关的无穷小量eps,因为pi仅仅是精确值π浮点近似的表示值而已
例2-1
x=-pi:
0.01:
pi;plot(x,sin(x))
x=-5:
0.01:
5;plot(x,sinh(x))
图形结果为图2-1。
图2-1正弦函数与双曲正弦函数图
函数cos、cosh
功能余弦函数与双曲余弦函数
格式Y=cos(X)%计算参量X中每一个角度分量的余弦值Y,所有角度分量的单位为弧度。
我们要指出的是,cos(pi/2)并不是精确的零,而是与浮点精度有关的无穷小量eps,因为pi仅仅是精确值π浮点近似的表示值而已。
Y=sinh(X)%计算参量X的双曲余弦值Y
例2-2
x=-pi:
0.01:
pi;plot(x,cos(x))
x=-5:
0.01:
5;plot(x,cosh(x))
图形结果为图2-2。
图2-2余弦函数与双曲余弦函数图
函数tan、tanh
功能正切函数与双曲正切函数
格式Y=tan(X)%计算参量X(可以是向量、矩阵,元素可以是复数)中每一个角度分量的正切值Y,所有角度分量的单位为弧度。
我们要指出的是,tan(pi/2)并不是精确的零,而是与浮点精度有关的无穷小量eps,因为pi仅仅是精确值π浮点近似的表示值而已。
Y=tanh(X)%返回参量X中每一个元素的双曲正切函数值Y
例2-3
x=(-pi/2)+0.01:
0.01:
(pi/2)-0.01;%稍微缩小定义域
plot(x,tan(x))
x=-5:
0.01:
5;plot(x,tanh(x))
图形结果为图2-3。
图2-3正切函数与双曲正切函数图
函数cot、coth
功能余切函数与双曲余切函数
格式Y=cot(X)%计算参量X(可以是向量、矩阵,元素可以是复数)中每一个角度分量的余切值Y,所有角度分量的单位为弧度。
Y=coth(X)%返回参量X中每一个元素的双曲余切函数值Y
例2-4
x1=-pi+0.01:
0.01:
-0.01;%去掉奇点x=0
x2=0.01:
0.01:
pi-0.01;%做法同上
plot(x1,cot(x1),x2,cot(x2))
plot(x1,coth(x1),x2,coth(x2))
图形结果为图2-4。
图2-4余切函数与双曲余切函数图
函数sec、sech
功能正割函数与双曲正割函数
格式Y=sec(X)%计算参量X(可以是向量、矩阵,元素可以是复数)中每一个角度分量的正割函数值Y,所有角度分量的单位为弧度。
我们要指出的是,sec(pi/2)并不是无穷大,而是与浮点精度有关的无穷小量eps的倒数,因为pi仅仅是精确值π浮点近似的表示值而已。
Y=sech(X)%返回参量X中每一个元素的双曲正割函数值Y
例2-5
x1=-pi/2+0.01:
0.01:
pi/2-0.01;%去掉奇异点x=pi/2
x2=pi/2+0.01:
0.01:
(3*pi/2)-0.01;
plot(x1,sec(x1),x2,sec(x2))
x=-2*pi:
0.01:
2*pi;
plot(x,sech(x))
图形结果为图2-5。
图2-5正割函数与双曲正割函数图
函数csc、csch
功能余割函数与双曲余割函数
格式Y=csc(X)%计算参量X(可以是向量、矩阵,元素可以是复数)中每一个角度分量的余割函数值Y,所有角度分量的单位为弧度。
Y=csch(X)%返回参量X中每一个元素的双曲余割函数值Y
例2-6
x1=-pi+0.01:
0.01:
-0.01;x2=0.01:
0.01:
pi-0.01;%去掉奇异点x=0
plot(x1,csc(x1),x2,csc(x2))
plot(x1,csch(x1),x2,csch(x2))
图形结果为图2-6。
图2-6余割函数与双曲余割函数图
2.1.2其他常用函数
函数exp
功能以e为底数的指数函数
格式Y=exp(X)%对参量X的每一分量,求以e为底数的指数函数Y。
例2-7
>>A=[-1.9,-0.2,3.1415926,5.6,7.0,2.4+3.6i];
>>Y=exp(A)
计算结果为:
Y=
1.0e+003*
Columns1through4
0.00010.00080.02310.2704
Columns5through6
1.0966-0.0099-0.0049i
函数expm
功能求矩阵的以e为底数的指数函数
格式Y=expm(X)%计算以e为底数、x的每一个元素为指数的指数函数值。
若矩阵x有小于等于零的特征值,则返回复数的结果。
说明该函数为一内建函数,它有三种计算算法:
(1)使用文件expm1.m中的用比例法与二次幂算法得到的Pad近似值;
(2)使用Taylor级数近似展开式计算,这种计算在文件expm2.m中。
但这种一般计算方法是不可取的,通常计算是缓慢且不精确的;
(3)在文件expm3.m中,先是将矩阵对角线化,再把函数计算出相应的的特征向量,最后转换过来。
但当输入的矩阵没有与矩阵阶数相同的特征向量个数时,就会出现错误。
例2-8
>>A=hilb(4);
>>Y=expm(A)
计算结果为:
Y=
3.25061.20680.83550.6417
1.20681.74030.54170.4288
0.83550.54171.41000.3318
0.64170.42880.33181.2729
函数log
功能自然对数,即以e为底数的对数。
格式Y=log(X)%对参量X中的每一个元素计算自然对数。
其中X中的元素可以是复数与负数,但由此可能得到意想不到的结果。
若z=x+i*y,则log对复数的计算如下:
log(z)=log(abs(z))+i*atan2(y,x)
例2-9下面的语句可以得到无理数π的近似值:
>>Pi=abs(log(-1))
计算结果为:
Pi=
3.1416
函数log10
功能常用对数,即以10为底数的对数。
格式Y=log10(X)%计算X中的每一个元素的常用对数,若X中出现复数,则可能得到意想不到的结果。
例2-10
>>L1=log10(realmax)%由此可得特殊变量realmax的近似值
>>L2=log10(eps)%由此可得特殊变量eps的近似值
>>M=magic(4);
>>L3=log10(M)
计算结果为:
L1=
308.2547
L2=
-15.6536
L3=
1.20410.30100.47711.1139
0.69901.04141.00000.9031
0.95420.84510.77821.0792
0.60211.14611.17610
函数sort
功能把输入参量中的元素按从小到大的方向重新排列
格式B=sort(A)%沿着输入参量A的不同维的方向、从小到大重新排列A中的元素。
对于A中完全相同的元素,则按它们在A中的先后位置排列在一块;若A为向量,则返回从小到大的向量,若A为二维矩阵,则按列的方向进行排列。
B=sort(A,dim)%沿着矩阵A(向量的、矩阵的或多维的)中指定维数dim方向重新排列A中的元素。
例2-11
>>A=[-1.9,-0.2,3.1415926,5.6,7.0,2.4+3.6i];
>>[B1,INDEX]=sort(A)
>>M=magic(4);
>>B2=sort(M)
计算结果为:
B1=
Columns1through4
-0.2000-1.90003.14162.4000+3.6000i
Columns5through6
5.60007.0000
INDEX=
213645
B2=
4231
5768
9111012
16141513
函数abs
功能数值的绝对值
格式Y=abs(X)
例2-12
>>A=[-1.9,-0.2,3.1415926,5.6,7.0,];
>>Y=abs(A)
计算结果为:
Y=
1.90000.20003.14165.60007.0000
2.2插值、拟合
插值法是实用的数值方法,是函数逼近的重要方法。
在生产和科学实验中,自变量x与因变量y的函数y=f(x)的关系式有时不能直接写出表达式,而只能得到函数在若干个点的函数值或导数值。
当要求知道观测点之外的函数值时,需要估计函数值在该点的值。
如何根据观测点的值,构造一个比较简单的函数y=φ(x),使函数在观测点的值等于已知的数值或导数值。
用简单函数y=φ(x)在点x处的值来估计未知函数y=f(x)在x点的值。
寻找这样的函数φ(x),办法是很多的。
φ(x)可以是一个代数多项式,或是三角多项式,也可以是有理分式;φ(x)可以是任意光滑(任意阶导数连续)的函数或是分段函数。
函数类的不同,自然地有不同的逼近效果。
在许多应用中,通常要用一个解析函数(一、二元函数)来描述观测数据。
根据测量数据的类型:
1.测量值是准确的,没有误差。
2.测量值与真实值有误差。
这时对应地有两种处理观测数据方法:
1.插值或曲线拟合。
2.回归分析(假定数据测量是精确时,一般用插值法,否则用曲线拟合)。
MATLAB中提供了众多的数据处理命令。
有插值命令,有拟合命令。
2.2.1插值命令
命令1interp1
功能一维数据插值(表格查找)。
该命令对数据点之间计算内插值。
它找出一元函数f(x)在中间点的数值。
其中函数f(x)由所给数据决定。
各个参量之间的关系示意图为图2-7。
图2-7数据点与插值点关系示意图
格式yi=interp1(x,Y,xi)%返回插值向量yi,每一元素对应于参量xi,同时由向量x与Y的内插值决定。
参量x指定数据Y的点。
若Y为一矩阵,则按Y的每列计算。
yi是阶数为length(xi)*size(Y,2)的输出矩阵。
yi=interp1(Y,xi)%假定x=1:
N,其中N为向量Y的长度,或者为矩阵Y的行数。
yi=interp1(x,Y,xi,method)%用指定的算法计算插值:
’nearest’:
最近邻点插值,直接完成计算;
’linear’:
线性插值(缺省方式),直接完成计算;
’spline’:
三次样条函数插值。
对于该方法,命令interp1调用函数spline、ppval、mkpp、umkpp。
这些命令生成一系列用于分段多项式操作的函数。
命令spline用它们执行三次样条函数插值;
’pchip’:
分段三次Hermite插值。
对于该方法,命令interp1调用函数pchip,用于对向量x与y执行分段三次内插值。
该方法保留单调性与数据的外形;
’cubic’:
与’pchip’操作相同;
’v5cubic’:
在MATLAB5.0中的三次插值。
对于超出x范围的xi的分量,使用方法’nearest’、’linear’、’v5cubic’的插值算法,相应地将返回NaN。
对其他的方法,interp1将对超出的分量执行外插值算法。
yi=interp1(x,Y,xi,method,'extrap')%对于超出x范围的xi中的分量将执行特殊的外插值法extrap。
yi=interp1(x,Y,xi,method,extrapval)%确定超出x范围的xi中的分量的外插值extrapval,其值通常取NaN或0。
例2-13
>>x=0:
10;y=x.*sin(x);
>>xx=0:
.25:
10;yy=interp1(x,y,xx);
>>plot(x,y,'kd',xx,yy)
插值图形为图2-8。
例2-14
>>year=1900:
10:
2010;
>>product=[75.99591.972105.711123.203131.669150.697179.323203.212226.505249.633256.344267.893];
>>p1995=interp1(year,product,1995)
>>x=1900:
1:
2010;
>>y=interp1(year,product,x,'pchip');
>>plot(year,product,'o',x,y)
插值结果为:
p1995=
252.9885
插值图形为图2-9。
图2-8一元函数插值图形图2-9离散数据的一维插值图
命令2interp2
功能二维数据内插值
格式ZI=interp2(X,Y,Z,XI,YI)%返回矩阵ZI,其元素包含对应于参量XI与YI(可以是向量、或同型矩阵)的元素,即Zi(i,j)←[Xi(i,j),yi(i,j)]。
用户可以输入行向量和列向量Xi与Yi,此时,输出向量Zi与矩阵meshgrid(xi,yi)是同型的。
同时取决于由输入矩阵X、Y与Z确定的二维函数Z=f(X,Y)。
参量X与Y必须是单调的,且相同的划分格式,就像由命令meshgrid生成的一样。
若Xi与Yi中有在X与Y范围之外的点,则相应地返回nan(NotaNumber)。
ZI=interp2(Z,XI,YI)%缺省地,X=1:
n、Y=1:
m,其中[m,n]=size(Z)。
再按第一种情形进行计算。
ZI=interp2(Z,n)%作n次递归计算,在Z的每两个元素之间插入它们的二维插值,这样,Z的阶数将不断增加。
interp2(Z)等价于interp2(z,1)。
ZI=interp2(X,Y,Z,XI,YI,method)%用指定的算法method计算二维插值:
’linear’:
双线性插值算法(缺省算法);
’nearest’:
最临近插值;
’spline’:
三次样条插值;
’cubic’:
双三次插值。
例2-15:
>>[X,Y]=meshgrid(-3:
.25:
3);
>>Z=peaks(X,Y);
>>[XI,YI]=meshgrid(-3:
.125:
3);
>>ZZ=interp2(X,Y,Z,XI,YI);
>>surfl(X,Y,Z);holdon;
>>surfl(XI,YI,ZZ+15)
>>axis([-33-33-520]);shadingflat
>>holdoff
插值图形为图2-10。
例2-16
>>years=1950:
10:
1990;
>>service=10:
10:
30;
>>wage=[150.697199.592187.625
179.323195.072250.287
203.212179.092322.767
226.505153.706426.730
249.633120.281598.243];
>>w=interp2(service,years,wage,15,1975)
插值结果为:
w=
190.6288
命令3interp3
功能三维数据插值
格式VI=interp3(X,Y,Z,V,XI,YI,ZI)%找出由参量X,Y,Z决定的三元函数V=V(X,Y,Z)在点(XI,YI,ZI)的值。
参量XI,YI,ZI是同型阵列或向量。
若向量参量XI,YI,ZI是不同长度,不同方向(行或列)的向量,这时输出参量VI与Y1,Y2,Y3为同型矩阵。
其中Y1,Y2,Y3为用命令meshgrid(XI,YI,ZI)生成的同型阵列。
若插值点(XI,YI,ZI)中有位于点(X,Y,Z)之外的点,则相应地返回特殊变量值NaN。
VI=interp3(V,XI,YI,ZI)%缺省地,X=1:
N,Y=1:
M,Z=1:
P,其中,[M,N,P]=size(V),再按上面的情形计算。
VI=interp3(V,n)%作n次递归计算,在V的每两个元素之间插入它们的三维插值。
这样,V的阶数将不断增加。
interp3(V)等价于interp3(V,1)。
VI=interp3(…,method)%用指定的算法method作插值计算:
‘linear’:
线性插值(缺省算法);
‘cubic’:
三次插值;
‘spline’:
三次样条插值;
‘nearest’:
最邻近插值。
说明在所有的算法中,都要求X,Y,Z是单调且有相同的格点形式。
当X,Y,Z是等距且单调时,用算法’*linear’,’*cubic’,’*nearest’,可得到快速插值。
例2-17
>>[x,y,z,v]=flow(20);
>>[xx,yy,zz]=meshgrid(.1:
.25:
10,-3:
.25:
3,-3:
.25:
3);
>>vv=interp3(x,y,z,v,xx,yy,zz);
>>slice(xx,yy,zz,vv,[69.5],[12],[-2.2]);shadinginterp;colormapcool
插值图形为图2-11。
图2-11三维插值图
命令4spline
功能三次样条数据插值
格式yy=spline(x,y,xx)%对于给定的离散的测量数据x,y(称为断点),要寻找一个三项多项式
,以逼近每对数据(x,y)点间的曲线。
过两点
和
只能确定一条直线,而通过一点的三次多项式曲线有无穷多条。
为使通过中间断点的三次多项式曲线具有唯一性,要增加两个条件(因为三次多项式有4个系数):
1.三次多项式在点
处有:
;
2.三次多项式在点
处有:
;
3.p(x)在点
处的斜率是连续的(为了使三次多项式具有良好的解析性,加上的条件);
4.p(x)在点
处的曲率是连续的;
对于第一个和最后一个多项式,人为地规定如下条件:
①.
②.
上述两个条件称为非结点(not-a-knot)条件。
综合上述内容,可知对数据拟合的三次样条函数p(x)是一个分段的三次多项式:
,其中每段
都是三次多项式。
该命令用三次样条插值计算出由向量x与y确定的一元函数y=f(x)在点xx处的值。
若参量y是一矩阵,则以y的每一列和x配对,再分别计算由它们确定的函数在点xx处的值。
则yy是一阶数为length(xx)*size(y,2)的矩阵。
pp=spline(x,y)%返回由向量x与y确定的分段样条多项式的系数矩阵pp,它可用于命令ppval、unmkpp的计算。
例2-18
对离散地分布在y=exp(x)sin(x)函数曲线上的数据点进行样条插值计算:
>>x=[024581212.817.219.920];y=exp(x).*sin(x);
>>xx=0:
.25:
20;
>>yy=spline(x,y,xx);
>>plot(x,y,'o',xx,yy)
插值图形结果为图2-12。
图2-12三次样条插值
命令7interpn
功能n维数据插值
格式VI=interpn(X1,X2,,…,Xn,V,Y1,Y2,…,Yn)%返回由参量X1,X2,…,Xn,V确定的n元函数V=V(X1,X2,…,Xn)在点(Y1,Y2,…,Yn)处的插值。
参量Y1,Y2,…,Yn是同型的矩阵或向量。
若Y1,Y2,…,Yn是向量,则可以是不同长度,不同方向(行或列)的向量。
它们将通过命令ndgrid生成同型的矩阵,再作计算。
若点(Y1,Y2,…,Yn)中有位于点(X1,X2,…,Xn)之外的点,则相应地返回特殊变量NaN。
VI=interpn(V,Y1,Y2,…,Yn)%缺省地,X1=1:
size(V,1),X2=1:
size(V,2),…,Xn=1:
size(V,n),再按上面的情形计算。
VI=interpn(V,ntimes)%作ntimes次递归计算,在V的每两个元素之间插入它们的n维插值。
这样,V的阶数将不断增加。
interpn(V)等价于interpn(V,1)。
VI=interpn(…,method)%用指定的算法method计算:
‘linear’:
线性插值(缺省算法);
‘cubic’:
三次插值;
‘spline’:
三次样条插值法;
‘nearest’:
最邻近插值算法。
命令8meshgrid
功能生成用于画三维图形的矩阵数据。
格式[X,Y]=meshgrid(x,y)将由向量x,y(可以是不同方向的)指定的区域[min(x),max(x),min(y),max(y)]用直线x=x(i),y=y(j)(i=1,2,…,length(x) ,j=1,2,…,length(y))进行划分。
这样,得到了length(x)*length(y)个点,这些点的横坐标用矩阵X表示,X的每个行向量与向量x相同;这些点的纵坐标用矩阵Y表示,Y的每个列向量与向量y相同。
其中X,Y可用于计算二元函数z=f(x,y)与三维图形中xy平面矩形定义域的划分或曲面作图。
[X,Y]=meshgrid(x)%等价于[X,Y]=meshgrid(x,x)。
[X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z)%生成三维阵列X,Y,Z,用于计算三元函数v=f(x,y,z)或三维容积图。
例2-19
[X,Y]=meshgrid(1:
3,10:
14)
计算结果为:
X=
123
123
123
123
123
Y=
101010
111111
121212
131313
141414
2.2.2曲线拟合
曲线拟合涉及回答两个基本问题:
最佳拟合意味着什么?
应该用什么样的曲线?
可用许多不同的方法定义最佳拟合,并存在无穷数目的曲线。
所以,从这里开始,我们走向何方?
正如它证实的那样,当最佳拟合被解释为在数据点的最小误差平方和,且所用的曲线限定为多项式时,那么曲线拟合是相当简捷的。
数学上,称为多项式的最小二乘曲线拟合。
如果这种描述使你混淆,再研究图2-13。
虚线和标志的数据点之间的垂直距离是在该点的误差。
对各数据点距离求平方,并把平方距离全加起来,就是误差平方和。
这条虚线是使误差平方和尽可能小的曲线,即是最佳拟合。
最小二
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 第章 数值计算与数据分析 数值 计算 数据 分析